Question

Calcule la Serie de Taylor

Answer 1

• La serie de Taylor de una función f(x) esta definida por:

$\qquad \qquad \rm f(x) = f(a) + \cfrac{f'(a)}{1!} (x - a) + \cfrac{f''(a)}{2!} (x - a) {}^{2} + \cfrac{f'''(a)}{3!} (x - a) {}^{3} + ...$

La serie puede ser infinita o finita dependiendo de la función. Nuestra función se puede derivar infinitas veces y siempre va ser igual a $\rm 5e^x$ y esta función esta definida por el punto a = 1. La serie de Taylor será:

$\qquad \qquad \rm f(x) = 5e + \cfrac{5e}{1!} (x - a) + \cfrac{5e}{2!} (x - a) {}^{2} + \cfrac{5e}{3!} (x - a) {}^{3} + \dfrac{5e}{4!}(x-a)^4...$

Simplificando los factoriales podíamos obtener la serie de Taylor:

$\qquad \qquad \rm f(x) = 5e + {5e} (x - a) + \cfrac{5e}{4} (x - a) {}^{2} + \cfrac{5e}{6} (x - a) {}^{3} +\dfrac{5e}{24} (x-a)^4 ...$