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Respuesta:
Ejercicio resuelto 1
Un cañón puede disparar una bala con una velocidad de 200 m/s y un ángulo de 40º respecto a la horizontal. Si el lanzamiento se realiza en terreno plano y se desprecia la resistencia del aire, encuentre:
a) La ecuación de la trayectoria y (x)..
b) Las ecuaciones paramétricas x(t) y y(t).
c) El alcance horizontal y el tiempo que dura el proyectil en el aire.
d) La altura a la cual se encuentra el proyectil cuando x = 12.000 m
Solución a)
a) Para encontrar la trayectoria se sustituyen los valores dados en la ecuación y(x) de la sección precedente:
y (x) = tg 40º. x – {9.8/(2 ´ 4002. cos240º)} x2 ⇒ y (x) = 0.8391 x – 0.0000522x2
Solución b)
b) Se elige el punto de lanzamiento en el origen del sistema de coordenadas (0,0):
x (t) = xo +vox.t= 400´ cos 40º.t= 306.42. t.
y (t) =yo +voy.t -½g.t2=400 ´ sen 40º.t – 0.5 ´ 9.8´t2= 257.12 t – 4.9.t2
Solución c)
c) Para encontrar el tiempo que el proyectil dura en el aire, se hace y (t) =0, siendo el lanzamiento se hace en terreno plano:
0 = 257.12.t – 4.9.t2
t = 257.12 / 4.9 s = 52.473 s
El alcance máximo horizontal se encuentra sustituyendo este valor en x(t):
xmax = 306.42´ 52.47 m = 16077.7 m
Otra manera de encontrar xmax directamente es haciendo y = 0 en la ecuación de la trayectoria:
0 = 0.8391 xmax – 0.0000522 x2max
x = 0.8391 / 0.0000522 m = 16078.5 m
Hay una pequeña diferencia debido al redondeo de los decimales.
Solución d)
d) Para saber la altura cuando x = 12000 m se sustituye este valor directamente en la ecuación de la trayectoria:
y (12000) = 0.8391´ 12000 – 0.0000522´120002 m = 2552.4 m
Ejercicio resuelto 2
La función de posición de un objeto viene dada por:
r (t) = 3t i + (4 -5t2) j m
Encontrar:
a) La ecuación para la trayectoria. ¿Qué curva es?
b) La posición inicial y la posición cuando t = 2 s.
c) El desplazamiento efectuado al cabo de t = 2 s.
Solución
a) La función de posición ha sido dada en términos de los vectores unitarios i y j, que determinan respectivamente la dirección en los ejes x y y, por lo tanto:
x(t) = 3t
y(t) = 4 -5t2
La ecuación de la trayectoria y (x) se encuentra despejando t de x (t) y sustituyendo en y(t):
t = x/3
y (x) = 4 –5. (x/3)2 = 4 – 5x2/9 (Parábola)
b) La posición inicial es: r (2) = 4 j m ; la posición en t = 2 s es r (2) = 6 i -16 j m
c) El desplazamiento Dr es la resta de los dos vectores de posición:
Δr = r (2) – r (2) = {6 i -16 j}– 4 j = 6 i – 20 j m
Ejercicio resuelto 3
La Tierra tiene un radio R = 6300 Km y se sabe que el período de rotación de su movimiento alrededor de su eje es de un día. Encontrar:
a) La ecuación de la trayectoria de un punto sobre la superficie terrestre y su función de posición.
b) La velocidad y la aceleración de dicho punto.
Solución a)
a) La función de posición para un punto cualquiera en órbita circular es:
r (t)= R.cos ωt i + R.sen ωt j
Se tiene el radio de la Tierra R, pero no la velocidad angular ω, sin embargo se puede calcular del período, sabiendo que para el movimiento circular es válido decir que:
ω = 2π × frecuencia = 2π / período
El período del movimiento es: 1 día = 24 horas = 1440 minutos = 86400 segundos, por lo tanto:
ω = 2π / 86400 s = 0.000023148 s-1
Explicación:
Respuesta:
Algunos ejemplos son: – Las órbitas que describen los planetas alrededor del sol son trayectorias cerradas con forma de elipse. Si bien, en algunos casos, se pueden aproximar a una circular, como en el caso de la Tierra. – El balón que el guardameta patea en un saque de meta sigue una trayectoria parabólica.
Explicación:
espero que te sirva