Question

Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B con C y C con A. La
distancia de A a B es de 100 metros, la distancia de B a C es de 150 metros, el ángulo correspondiente a B
es de 50º, ¿Halle la distancia entre A y C? ¿Y halle los ángulos en los puntos entre A y C?

Answer 1

Teoremas del seno y coseno.  

Ejercicio

He hecho un dibujo representativo de la situación para que se vea más claro. Lo adjunto abajo.

Lo que se forma es un triángulo con diferentes medidas en lados y ángulos.

Por convención, en cualquier triángulo se colocan letras mayúsculas en los vértices, que también representan los ángulos, y letras minúsculas en los lados de manera que a cada ángulo con letra mayúscula le corresponde el lado opuesto con la misma letra en minúscula y eso es lo que he colocado en el dibujo.

Así pues, tenemos los datos:

• Lado a = 150 m.
• Lado c = 100 m.
• Ángulo B = 50º

La ley del coseno dice:  $b^2=a^2+c^2-2ac*cos\ B$

Que aplico en nuestro caso sustituyendo datos conocidos y hallando el coseno de B mediante calculadora científica o tablas trigonométricas a falta de aquella.

Me dice que:  cos 50º = 0,64

Coloco los datos en la fórmula anterior y resuelvo:

$b^2=150^2+100^2-2*150*100*0,64=22500+10000-19200\\ \\ b=\sqrt{13300} =\boxed{115\ m.}$

Conocido el lado "b", acudo a la ley del seno que relaciona cada lado con el seno de su ángulo opuesto y dice:

$\dfrac{a}{sen\ A} =\dfrac{b}{sen\ B} =\dfrac{c}{sen\ C}$

Hallo primero el ángulo A aplicando esa fórmula calculando primero el seno de B del mismo modo que he calculado el coseno y me dice que:

sen 50º = 0,766

Aplico la fórmula:

$\dfrac{150}{sen\ A} =\dfrac{115}{0,766} \\ \\ \\ sen\ A=\dfrac{150*0,766}{115} =0,996$

De nuevo recurro a la calculadora y utilizo la función inversa del seno que me dirá a qué ángulo pertenece el valor hallado.

Me dice que 0,996 corresponde a un ángulo de 85º

Ángulo A = 85º

El último ángulo por conocer se obtiene de restar de 180º la suma de los dos conocidos ya que sabemos que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo siempre es igual a 180.

Ángulo C = 180 - (85+50) = 45º

Saludos.