Question

Se lanza una moneda repetidamente hasta lograr cara. Pedir recibirá $2^n si la primera cara aparece en el n-esimo lanzamiento. A) calcular la ganancia esperada de Pedro. B) si se alteran las reglas de tal manera que Pedro recibirá $2^n si n =21. Calcular la ganancia esperada de Pedro.

Answer 1

Usaremos la distribución geométrica para dar respuesta a la situación planteada.

Explicación:

X  es una variable aleatoria que representa el número de lanzamientos de la moneda que ocurren hasta tener éxito (obtener una cara), y  p  la probabilidad de éxito (obtener una cara). Se dice entonces que  X  tiene una distribución geométrica con función de probabilidad:

$\bold{P(X~=~x)~=~\left \{ {{p\cdot(1~-~p)^{(1~-~x)}\qquad x~=~1,~2,~...,~n} \atop {0\qquad\qquad\qquad en~otro~caso}} \right.}$

La esperanza matemática de la variable  X  es:

E(X)  =  1/p               en el caso que nos ocupa        p  =  1/2

E(X)  =  2

A) Calcular la ganancia esperada de Pedro.

Pedro recibirá    $2ˣ     si la primera cara aparece en el n-esimo lanzamiento; es decir, la esperanza de  x  es  2, entonces:

Ganancia esperada de Pedro  =  2²  =  $4

En la condición dada en A, se espera que Pedro gane  $4.

B) Si se alteran las reglas de tal manera que Pedro recibirá       $2ˣ       si    n  =  21.         Calcular la ganancia esperada de Pedro.

En este caso, Pedro gana solo si   x  =  21; por lo tanto:

Esperanza de ganar solo 21  =  E(21)  =  Σxₐ*P(X = xₐ)  

Esperanza de ganar solo 21  =  (1)*(0) + (2)*(0) + ... + (21)(1/2)(1 - 1/2)^(1 - 21) + ... + (22)*(0) +...  =  0.00002

Ganancia de Pedro  =  2^(0.00002)  =  $ 1.00001

En la condición  B,  Se esperaría que Pedro gane  $1.00001