Question

Para determinar la altura de una torre José se ubica a 10 metros de la Torre miden el ángulo de 40 grados Cómo se mete en la figura si la estatura de José es 1,74 meta determinada altura de la Torre.

Answer 1

La altura de la torre es de aproximadamente 13,66 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

En nuestro imaginario triángulo rectángulo ABC este está conformado por el lado AB  que equivale a una porción de la altura de la torre, el lado BC que representa la distancia del observador a la torre y el lado AB es la proyección visual del observador a la parte más alta de la torre con un ángulo de elevación de 40°

La visual del observador está a 1,74 metros del plano horizontal o de la línea del suelo

Calcularemos antes una porción de la altura de la torre. La cual es desde donde están los ojos del observador por encima de la línea del suelo a 174 metros de allí

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Conocemos la distancia del observador hasta la base de la torre y de un ángulo de elevación de 40°

• Distancia del observador hasta la torre = 10 metros

• Ángulo de elevación = 40°

• Debemos hallar la altura de la torre

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado BC)

Como conocemos el valor del cateto adyacente (lado BC) y de un ángulo de elevación de 40°, podemos relacionar a ambos mediante la tangente.

Planteamos:

$\boxed{ \bold{ tan (40\°) = \frac{cateto \ opuesto}{ cateto \ adyacente} = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed{ \bold{ tan (40\°) = \frac{porci\'on \ altura \ torre}{ distancia \ observador \ a \ torre} = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed{ \bold{ porci\'on \ altura \ torre\ (AB)= distancia \ a \ torre \ . \ tan (40\°) }}$

$\boxed{ \bold{ porci\'on \ altura \ torre\ (AB)= 10 \ metros \ . \ tan (40\°) }}$

$\boxed{ \bold{ porci\'on \ altura \ torre\ (AB)= 10 \ metros \ .\ 0,8390996311772 }}$

$\boxed{ \bold{ porci\'on \ altura \ torre\ (AB)\approx 11,9175 \ metros }}$

$\boxed{ \bold{ porci\'on \ altura \ torre\ (AB)\approx 11,92 \ metros }}$

Como mencionamos antes, la visual del observador está a 1,74 metros del plano horizontal o de la línea del suelo

Para hallar la altura de la torre le debemos sumar a la porción de la altura hallada de la torre la altura del observador

$\boxed{ \bold{ altura \ torre\ = porci\'on \ altura \ torre\ + \ estatura \ observador }}$

$\boxed{ \bold{ AD = AB + \ CD }}$

$\boxed{ \bold{ altura \ de \ la \ torre\ = 11,92 \ metros\ + \ 1,74 \ metros }}$

$\boxed{ \bold{ altura \ de \ la \ torre\ \approx 13,66 \ metros\ }}$

La torre mide aproximadamente 13,66 metros