Question

Hallar la solución general de la siguiente ecuación como una serie de potencial alrededor del punto x=0

2y''+xy'+y=0

Answer 1

$\displaystyle y=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\\ \\ y'=\sum\limits_{n=1}^\infty a_nnx^{n-1}\\ \\ y''=\sum\limits_{n=2}^\infty a_nn(n-1)x^{n-2}$

$\text{Reemplazamos:}\\ \\ 2\sum\limits_{n=2}^\infty a_nn(n-1)x^{n-2}+x\sum\limits_{n=1}^\infty a_nnx^{n-1}+\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n=0\\ \\ \sum\limits_{n=2}^\infty 2a_nn(n-1)x^{n-2}+\sum\limits_{n=1}^\infty a_nnx^{n}+\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n=0\\ \\ \text{Igualando potencias:}\\ \\ \sum\limits_{n=0}^\infty 2a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n}+\sum\limits_{n=1}^\infty a_nnx^{n}+\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n=0$

$\text{igualando sub\'indices}\\ \\ 4a_2+a_0+\sum\limits_{n=1}^\infty 2a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n}+\sum\limits_{n=1}^\infty a_nnx^{n}+\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n=0\\ \\ 4a_2+a_0+\sum\limits_{n=1}^\infty 2a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n}+ a_nnx^{n}+a_nx^n=0\\ \\ 4a_2+a_0+\sum\limits_{n=1}^\infty [2a_{n+2}(n+2)+ a_n](n+1)x^n=0$

$\text{comparando coeficientes:}\\ \\ 4a_2+a_0=0\to a_2=-\dfrac{a_0}{4}\\ \\ 2a_{n+2}(n+2)+ a_n=0\to a_{n+2}=-\dfrac{a_n}{2(n+2)}\;,\; \forall n\geq 1$

$\text{con }n=1: a_3=-\dfrac{a_1}{2(3)}\\ \\ \text{con }n=2: a_4=-\dfrac{a_2}{2(4)}=\dfrac{a_0}{2^3(4)}\\ \\ \text{con }n=3: a_5=-\dfrac{a_3}{2(5)}=\dfrac{a_1}{2^2(3\cdot 5)}\\ \\ \text{con }n=4: a_6=-\dfrac{a_4}{2(6)}=-\dfrac{a_0}{2^4(4\cdot 6)}$

$a_{2k-1}=\dfrac{(-1)^k}{2^k(3\cdot 5\cdot 7\cdots(2k+1))}a_1=\dfrac{(-1)^kk!}{(2k+1)!}a_1\\ \\ a_{2k}=\dfrac{(-1)^k}{2^{2k-1}k!}a_0\\ \\ y=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\\ \\ y=\sum\limits_{n=0}^\infty a_{2n}x^{2n}+\sum\limits_{n=1}^\infty a_{2n-1}x^{2n-1}\\ \\ \boxed{y=a_0\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^k}{2^{2k-1}k!}x^{2n}+a_1\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^kk!}{(2k+1)!}x^{2n-1}}$