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Respuesta:
ing richard
Explicación paso a paso:
El valor de "n" para que 12ⁿ × 28 tenga un total de 152 divisores compuestos es igual a 5
Si un número "a" tiene descomposición en factores primos de la siguiente manera:
Entonces el número de divisores que tiene "a" es:
(n₁ + 1)* (n₂ + 1)*....*(nn + 1)
Luego si descomponemos a 28 en factores primos:
28 = 2²*7
Si multiplicamos "n" veces 12, obtenemos el número:
28*12ⁿ = 2²*7*(3*2²)ⁿ = 2²*7*3ⁿ*2²ⁿ
= 2²⁺²ⁿ*3ⁿ*7
Entonces el número de divisores es
(2 + 2n + 1)*(n + 1 )*(1 + 1)
= (2n + 3)*(n + 1)*2
= (2n + 3)*(n +1)*2
Como queremos que tenga 152 divisores compuestos, tenemos que además de los compuestos tiene como divisores primos el 2, el 3 y el 7 y el 1 que no es ni primo ni compuesto, luego el total de divisores es 152 + 4 = 156:
(2n + 3)*(n + 1)*2 = 156
(2n + 3)*(n + 1) = 156/2
(2n + 3)*(n + 1) = 78
2n² + 2n + 3n + 3 - 78 = 0
2n² + 5n - 75 = 0
2*(n - 5)*(n +7.5) = 0
Como n positivo y entero, entonces n = 5
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