Los vértices opuestos de un paralelepípedo con sus caras paralelas a los planos coordenados son: A(4,6,3) y E(-1,-4,13) Hallar: a) La ecuación general de 4 esferas contenidas exactamente en el paralelepípedo b) Investigue si es posible que exista una esfera que pase por los puntos ABCD, de ser así, encuéntrela.
Respuestas
Las ecuaciones generales de las esferas:
a) x² + y² + z² - 3x + y - 11z + 106/4 = 0
b) x² + y² + z² - 3x + y - 21z + 426/4 = 0
c) x² + y² + z² - 3x - 7y - 11z + 154/4 = 0
d) x² + y² + z² - 3x - 7y - 21z + 474/4 = 0
Explicación:
a) La ecuación general de 4 esferas contenidas exactamente en el paralelepípedo.
Ya que A y E están en caras opuestas del paralelepípedo en las tres dimensiones, el valor absoluto de la diferencia de las coordenadas de los puntos A y E nos dirá la longitud de cada lado:
En x: |4 - (-1)| = 5
En y: |6 - (-4)| = 10
En z: |3 - (13)| = 10
Para que las esferas estén contenidas en el paralelepípedo deben tener un diámetro máximo igual a la menor de las alturas del mismo; es decir, diámetro máximo de 5 unidades o radio 5/2 unidades.
Entonces, se pueden ubicar 4 esferas dentro del paralelepípedo de diámetro 5 unidades, una al lado de la otra. los centros estarían en el plano intermedio a los lados contrarios en x; es decir, en el plano x = 3/2. Las coordenadas y serían -1/2 ∧ 7/2. Las coordenadas z serían 11/2 ∧ 21/2.
La ecuación canónica de una esfera viene dada por:
(x - h)² + (y - k)² + (z - n)² = r²
donde
(h, k, n) es el centro y r es el radio
Las 4 esferas serán:
a) (x - 3/2)² + (y + 1/2)² + (z - 11/2)² = (5/2)²
b) (x - 3/2)² + (y + 1/2)² + (z - 21/2)² = (5/2)²
c) (x - 3/2)² + (y - 7/2)² + (z - 11/2)² = (5/2)²
d) (x - 3/2)² + (y - 7/2)² + (z - 21/2)² = (5/2)²
Desarrollando los productos notables se obtienen las ecuaciones generales de las esferas:
a) x² + y² + z² - 3x + y - 11z + 106/4 = 0
b) x² + y² + z² - 3x + y - 21z + 426/4 = 0
c) x² + y² + z² - 3x - 7y - 11z + 154/4 = 0
d) x² + y² + z² - 3x - 7y - 21z + 474/4 = 0
b) Investigue si es posible que exista una esfera que pase por los puntos ABCD, de ser así, encuéntrela.
Si es posible que exista una esfera que pase por los puntos ABCD.
Los puntos ABCD estarían ubicados en los vértices del rectángulo que forma la cara inferior; es decir, en el plano z = 3. Sus coordenadas serán:
A (4, 6, 3) B (4, -4, 3) C (-1, 6, 3) D (-1, -4, 3)
Para que la esfera pase por los vértices, debe tener como diámetro la arista del rectángulo que forman esos puntos, y su centro estaría en el punto medio de dicha arista:
Diámetro = |AD| = √[(-1 - 4)² + (-4 - 6)² + (3 - 3)²] = 5√5 unidades
Radio = (5√5)/2 unidades
Punto medio = ( [(-1 + 4)/2], [(-4 + 6)/2], [(3 + 3)/2]) = (3/2, 1, 3)
La ecuación canónica de la esfera viene dada por:
(x - 3/2)² + (y - 1)² + (z - 3)² = [(5√5)/2]²
Desarrollando los productos notables se obtiene:
x² + y² + z² - 3x - 2y - 6z - 76/4 = 0