Question

Para hallar la longitud de un pequeño lago se toman las siguientes medidas desde un punto C se mide la distancia a uno de los extremos del lago, punto A, obteniéndose que AC mide 1253 metros; la distancia al otro extremo del lago, punto B, es BC la cual mide 1700 metros. Por último se halla el ángulo ACB que resulta ser de 132°. Calcular la longitud del lago AB.

Answer 1

La longitud del lago es de aproximadamente 2703,82 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso de trata de un triángulo obtusángulo.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\boxed { \bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ .\ c\ . \ cos (\alpha)}}$

$\boxed { \bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ .\ c\ . \ cos (\beta)}}$

$\boxed { \bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ .\ b\ . \ cos (\gamma)}}$

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

En nuestro imaginario triángulo ABC el lado AC representa la distancia medida desde el punto C hasta uno de los extremos del lago, el lado BC equivale a la distancia medida desde el punto C hasta el otro extremo del lago, y por último el lado AB que es la longitud del pequeño lago y conocemos el ángulo que se ubica en el vértice C del triangulo que resulta ser de 132°

Se pide hallar la longitud del lago AB

Hallando la longitud del pequeño lago (Lado AB)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed { \bold { AB^{2} = BC^{2} + AC^{2} - 2 \ . \ AB \ .\ AC\ . \ cos (\gamma)}}$

o

$\boxed { \bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ .\ b\ . \ cos (\gamma)}}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = BC^{2} + AC^{2} - 2 \ . \ AB \ .\ AC\ . \ cos (\gamma)}}$

Reemplazamos valores

$\boxed { \bold { AB^{2} = 1700^{2} + 1253^{2} - 2 \ . \ 1700 \ .\ 1253\ . \ cos (132\° )}}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 2890000 + 1570009- 4260200 \ . \ cos (132\° )}}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 4460009- 4260200 \ . - 0,669130606358 }}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 4460009 + 2850630,63 }}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 7310639,63 }}$

$\boxed { \bold { \sqrt{ AB^{2} } = \sqrt{ 7310639,63 } }}$

$\boxed { \bold { AB = \sqrt{ 7310639,63 } }}$

$\boxed { \bold { AB \approx 2703,81945 \ metros }}$

$\boxed { \bold { AB \approx 2703,82 \ metros }}$

La longitud del lago es de ≅ 2703,82 metros