2. Halla los máximos y mínimos de las siguientes funciones a. f(x) =x² − 3x + 2 b.f(x) =x² − 4 c.f(x) = 2x³ − 3x² + 2 d.f(x)=x³ − 12x − 1 e f(x)=x² − 2 f f(x)= 3x − 20
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Respuesta:
Explicación paso a paso:
Las ecuaciones cuadráticas son de forma parabólica por lo tanto, a no ser que se especifique una región del dominio de la función, estas tendrán o un valor mínimo o uno máximo pero no ambos a la vez. Por ejemplo el a) Haciendo un análisis rápido de la misma veo que su coeficiente principal es positivo, por lo tanto la función tendrá un gráfico de una parábola concava hacia arriba, por lo tanto no tendrá un máximo absoulto a no ser que se restringa el dominio de la función, pero sí tendrá un mínimo. Ese mínmo está dado por el vértice de la parabola. El mismo puede determinarce de 3 formas diferentes según sean tus conocimientos:
Sea una ecuación cuadrática del tipo y = a*x^2 + b*x + c
Fórmula directa: el valor de x del vértice de una ecuación cuadrática está dada por la ecuación:
xv = -b/(2*a)
una vez calculado el valor de x hallas el valor del vértice en y con la fórmula de la función en xv y se determina el punto x;y del vertice.
Formula indirecta: teniendo el valor en x de las raices de la función ( llamemosles x1 y x2 ) el vértice se encuentra en el punto medio de estas de tal forma que:
xv = (x1 + x2) / 2
Aplicando derivadas: Usando las reglas de las derivación se calcula fácilmente el vértice cuando la derivada de la función se iguala a 0, puesto que esto indica que la parábola llegó a un punto en el cual no desciende ni asciende, es decir su vértice. Para las ecuaciones cuadráticas su derivada es:
dy / dx = 2*a*x + b
Aplicando el último método ya que me es más facil se tiene que en a) su vértice (un mínimo) se encuentra para el valor en x de:
dy / dx = 2x - 3 = 0
x = 3/2
por lo tanto será el valor en y:
y(3/2) = (3/2)^2 -3*(3/2) + 2
= 9/4 - 9/2 +2
= 9/4 - 18/4 + 8/4
= 1/4
Por lo tanto su vértice y valor mínimo de la función se encontrará en el punto (3/2 ; 1/4).
Con respecto a la función c) y d) estas son ecuaciones de 3er grado y la f) es una función lineal por lo que no tiene ni máximos ni mínimos a no ser que se limite la región de la misma en cuyo caso estos se encuentran en los límites de la misma en la que se define.
Si tienes alguna otra duda pregunta.