Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Racionalización del tipo \cfrac{a}{b\sqrt{c}}
Se multiplica el numerador y el denominador por \sqrt{c}} .
\cfrac{a}{b\sqrt{c}}=\cfrac{a\cdot \sqrt{c}}{b\sqrt{c}\cdot \sqrt{c}}=\cfrac{a\cdot \sqrt{c}}{b\left ( \sqrt{c}\, \right )^{2}}=\cfrac{a\cdot \sqrt{c}}{b\cdot c}
Ejemplos
1 Racionalizarla expresión\cfrac{2}{3\sqrt{2}}
Multiplicamos numerador y denominador por la raíz de 2, realizamos los cálculos y simplificamos la fracción
\cfrac{2}{3\sqrt{2}}=\cfrac{2\cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\cfrac{2\cdot \sqrt{2}}{3\left ( \sqrt{2}\, \right )^{2}}=\cfrac{2\cdot \sqrt{2}}{3\cdot 2}=\cfrac{\sqrt{2}}{3}
2 Racionalizar la expresión \sqrt{2}+\cfrac{1}{\sqrt{2}}
Para poder realizar la suma racionalizamos el 2º sumando multiplicando y dividiendo por raíz de 2, y realizamos la suma
\sqrt{2}+\cfrac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\sqrt{2}+\cfrac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}\, )^{2}}
=\sqrt{2}+\cfrac{\sqrt{2}}{2}=\left ( 1+\cfrac{1}{2} \right )\sqrt{2}=\cfrac{3}{2}\, \sqrt{2}
Caso 2
Racionalización del tipo \cfrac{a}{b\sqrt[n]{c^{m}}}
Se multiplica numerador y denominador por \sqrt[n]{c^{n-m}}.
\cfrac{a}{b\sqrt[n]{c^{m}}}=\cfrac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b\cdot \sqrt[n]{c^{m}}\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}=\cfrac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b\cdot \sqrt[n]{c^{m}\cdot c^{n-m}}}=\cfrac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b\cdot \sqrt[n]{c^{n}}}=\cfrac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b\cdot c}
Ejemplo
Racionalizar la expresión \cfrac{2}{3\sqrt[5]{4}}
El radicando 4 lo ponemos en forma de potencia: 2^{2}
Tenemos que multiplicar en el numerador y denominador por la raíz quinta de 2^{5-2}=2^{3}
Multiplicamos los radicales del denominador, extraemos factores del radical y simplificamos la fracción
\cfrac{2}{3\sqrt[5]{4}}=\cfrac{2}{3\sqrt[5]{2^{2}}}=\cfrac{2\cdot \sqrt[5]{c^{3}}}{3\cdot \sqrt[5]{2^{2}}\cdot \sqrt[5]{2^{3}}}=\cfrac{2\cdot \sqrt[5]{8}}{3\cdot \sqrt[5]{2^{5}}}=\cfrac{2\cdot \sqrt[5]{8}}{3\cdot 2}=\cfrac{\sqrt[5]{8}}{3}
Caso 3
Racionalización del tipo \cfrac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}
Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:
\begin{matrix} a+b & \rightarrow & a-b \\ \\ -a+b & \rightarrow & -a-b\\ \\ a-b & \rightarrow & a+b\\ \\ -a-b & \rightarrow & -a+b \end{matrix}
También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".
(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}
Ejemplos
1 Racionalizar la expresión \cfrac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados
\cfrac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\cfrac{2\cdot (\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}=\cfrac{2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{(\sqrt{2}\, )^{2}-(\sqrt{3}\, )^{2}}
En el denominador extraemos los radicandos y dividimos por -1, es decir, cambiamos el numerador de signo