Question

1) La suma de los extremos de una progresión aritmética de 12 términos es 148 y el quinto término es 56. Calcular el 8° término.


2) a1+an=190 ; n=11. Calcular el 6° término.


3) Calcular el primer término de la progresión, dados:

S=150 ; an=55 ; d=5

Necesito ayuda.

Answer 1

1) a(1) + a(12) = 148 => a(12) = 148 - a(1) ......(I)
Con la fórmula del término en-simo:
=> a(n) = a(1) + (n - 1) d
Como a(5) =56, luego:
=> 56 = a(1) + (5 -1)d
=> 56 = a(1) + 4d...........(II)
Tenemos:
=> a(12) = a(1) + (12-1)d
=> a(12) = a(1) + 11d ......(III)
Resolviendo la ecuación (III):
Sabemos que: a(12) = 148 - a(1), reemplazamos en la ecuación (III):
=> 148 - a(1) = a(1) + 11d
=> 148 = a(1) + a(1) + 11d
=> 148 = 2a(1) + 11d.........(IV)
Con las ecuaciones (II) y (IV) resolvemos:
=> 56 = a(1) + 4d ...........(II)
=>148 = a(1) + 11d.........(IV)
Multiplicamos por menos dos la ecuación (II) y resolver este sistema de ecuaciones:
=> -112 = -2a(1) - 8d
=>  148 =  2a(1) + 11d
....._________________
........36 =   /  + 3d
Despejando "d" tenemos:
=> ...... d = 36 / 3
=>------- d = 12
Con este valor de "d" lo reemplazo en
=> 56 = a(1) + 4(12)
=> 56 = a(1) + 48
=> a(1) = 56 - 48
=> a(1) = 8 ....(Primer término)
Ahora con este Primer término se reemplaza en:
=> a(8) = 8 + (8-1)(12)
=> a(8) = 8 + (7)(12)
=> a(8) = 8 + 84
=> a(8) = 92 ......(RESPUESTA OCTAVO TÉRMINO)

2) La suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos:

=> a(1) + a(12) = a(6) + a(6) => 2a(6) = 190=> a(6) = 190/2 => a(6) = 95
RESPUESTA: El sexto término es 95.

3) S= 150; a(n) = 55; d=5
Fórmulas:
=> S = (n(a(1) + a(n)) / 2 .........a(n) = a(1) + (n -1)d

Datos dados:

=> 150 = (n(a(1) + 55)) / 2 ........55 = a(1) + (n - 1)(5)

=> 150*2 = (n(a(1) + 55))  ........ 55 = a(1) + 5n - 5

=> 300 = n(a(1) + 55) ...............55 + 5 = a(1) + 5n

=> 300 = n(a(1) + 55) ..................60 - 5n = a(1)

=> 300 = n( 60 - 5n + 55)

=> 300 = n( 115 - 5n)

=> 300 = 115n - 5n^2

=> 5n^2 - 115n + 300 = 0 ......(ecuación cuadrática)

=> n^2 - 23n + 60 = 0 ..........(dividido por 5)

=> (n - 20) (n - 3) = 0 .........(Teorema del factor nulo)

=> n - 20 = 0 .........ó........n - 3 = 0

=> n = 20 .............ó.........n = 3

Ahora se puede calcular el primer término con estas dos respuestas:

=> 55 = a(1) + (n -1)d
=> 55 = a(1) + (n - 1)(5)
=> 55 = a(1) + 5n - 5
=> 55 + 5 = a(1) + 5n
=> 60 = a(1) + 5n
=> 60 = a(1) + (5)(20)
=> 60 = a(1) + 100
=> a(1) = 60 - 100
=> a(1) = - 40
O también:

=> 60 = a(1) + 5n
=> 60 = a(1) + (5)(3)
=> 60 = a(1) + 15
=> 60 - 15 = a(1)
=> 45 = a(1)

RESPUESTA: Hay dos posibles resultados: a(1) = 45 ó a(1) = - 40

Bueno hay vida?