Respuestas
Respuesta:
Observemos el gráfico. Sea una circunferencia de centro (h,k) y radio r.
Por la ecuación de distancia entre dos puntos tenemos:
Eliminando la raíz y transponiendo términos se obtiene:
Si el centro está en el origen de coordenadas, C (0,0), la ecuación se reduce a
DEDUCCIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
La ecuación ordinaria de la circunferencia es
Realizando las operaciones indicadas se transforman en
Transpongamos r2 y ordenemos los términos
Que representa la forma
Ecuación general de la circunferencia
En donde: D = -2h ; E = -2K y F = h2 + k2 - r2
Caso Recíproco
Si escribimos la ecuación general en la forma x2 + Dx + y2 + Ey = -F y sumamos y restamos los términos que se indican para completas trinomios cuadrados perfectos se tiene
Factorando en el primer miembro y sumando en el segundo se tiene
Comparando con (x-h) 2 + (y– k) 2 = r2, se concluye que
El centro C es el radio r =
Como D2 + E2 - 4F da el valor del radio, los casos que pueden presentarse son:
a) Si D2 + E2 - 4F ( 0 existe circunferencia, r es real
b) Si D2 + E2 - 4F ( 0 no existe circunferencia, r es imaginario
c) Si D2 + E2 - 4F = 0 no existe circunferencia, la ecuación representa al punto (-D/2 , -E/2).
FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS
Son todas las circunferencias que pasan por el punto de la intersección de dos circunferencias, la ecuación de todas ellas está dado por:
x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + K ( x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0
Esta expresión representa una circunferencia para los valores de K, excepto para K= -1. Para K=-1 la ecuación se reduce a una recta, que es la cuerda común de dichas circunferencias.
EJE RADICAL
Es la recta que pasa por la intersección de dos circunferencias.
Sean las circunferencias x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0
x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0
La ecuación del eje radical se obtiene restando las ecuaciones de las circunferencias.
Ejemplo Ilustrativo N° 1
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2,3) y (3,6) y sea tangente a la recta 2x+y-2=0
Calculando la pendiente con los puntos (2,3) y (3,6) se obtiene:
Explicación paso a paso: