Resuelva los siguientes ejercicios de razón de cambio a) El radio r de una esfera está creciendo a razón de 3 cm/min. Calcular la razón de cambio del volumen cuando r = 9 cm. b) Una escalera de 25 pies de longitud está apoyada sobre una pared (ver figura).Su base se desliza por la pared a razón de 2 pies por segundo. ¿A qué razón está bajando su extremo superior por la pared cuando la base está a 7 pies de la pared?
Respuestas
a) El radio de una esfera se incrementa a razón de 40 cm/seg
b) La razón de cambio de altura del apoyo de la escalera es de: 1,05 ft/s
Explicación paso a paso:
a) El radio r de una esfera está creciendo a razón de 3 cm/min. Calcular la razón de cambio del volumen cuando r = 9 cm.
V = 4/3πr³
V(t) = 4/3πr³(t)
Derivamos
dV/dt = 4πr² *r(t)
dV/dt =4π*91*3cm²/9π
dV/dt = 40cm/seg
b) Una escalera de 25 pies de longitud está apoyada sobre una pared (ver figura). Su base se desliza por la pared a razón de 2 pies por segundo. ¿A qué razón está bajando su extremo superior por la pared cuando la base está a 7 pies de la pared?
La figura que se genera entre la escalera el piso y la pared es la de un triangulo rectángulo, por lo que, usamos el teorema de Pitagoras:
D =√x² + y²
Donde:
D = 25 ft
x = 7 ft
dx/dt = 3ft/s
25ft = √x² + y²
625 - x² = y² Derivamos
2y dy/dt = -2x dx/dt
x = 7 ft ⇒ 25ft = √x² + y² ⇒ y = 5ft
dy/dt = -x/y dx/dt
dy/dt = -7ft/20ft (3 ft/s)
dy/dt = -1,05 ft/s