Question

cALCULAR LAS SIGUIENTES SUMATORIAS:

Answer 1

$\text{Sea }\\ \\ S(n)=\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k+1}(k-1)^2\\ \\ \text{Apliquemos la ley telesc\'opica a esta suma:} \\ \\ \sum\limits_{k=1}^n\left[(-1)^{(k+1)+1}[(k+1)-1]^2-(-1)^{k+1}(k-1)^2\right]=(-1)^{n+2}n^2-(-1)^{1+1}(1-1)^2$

$\sum\limits_{k=1}^n\left[(-1)^{k}k^2+(-1)^{k}(k-1)^2\right]=(-1)^{n}n^2\\ \\ \sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k}\left[k^2+(k-1)^2\right]=(-1)^{n}n^2\\ \\ \sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k}\left[2k^2-2k+1\right]=(-1)^{n}n^2\\ \\ \dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k}\left[(2k-1)^2+1\right]=(-1)^{n}n^2$

$\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k}(2k-1)^2+ \dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k}=(-1)^{n}n^2\\ \\ \dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k}(2k-1)^2+ \dfrac{(-1)^n-1}{4}=(-1)^{n}n^2\\ \\ \dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k}(2k-1)^2=(-1)^{n}\left(n^2-\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{4}\\ \\ \sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k}(2k-1)^2=(-1)^{n}\left(2n^2-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\\ \\ \boxed{\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k+1}(2k-1)^2=(-1)^{n}\left(\dfrac{1}{2}-2n^2\right)-\dfrac{1}{2}}$