Question

Determina la función de densidad y la probabilidad de que una persona trabaje entre 8 y 12 horas. La función de distribución de la variable aleatoria que representa la duración en horas del trabajo de una persona es:

Answer 1

La probabilidad de que una persona trabaje entre 8 y 12 horas es 0,0252, o del 2,52%.

Explicación:

La función de densidad de probabilidad es la derivada de la función de distribución de probabilidad con lo que queda:

$d(x)=\frac{d}{dx}f(x)=-\frac{4}{5}.-\frac{4}{5}.e^{-\frac{4x}{5}}-\frac{1}{5}.-\frac{1}{5}.e^{-\frac{1x}{5}}\\\\d(x)=\frac{16}{25}e^{-\frac{4}{5}x}+\frac{1}{25}e^{-\frac{1}{5}x}$

Una vez tenemos la función de densidad, la probabilidad de que una persona trabaje de 8 a 12 horas es la integral definida de la misma:

$P(8\leq x\leq 12)=\int\limits^{12}_8 {d(x)} \, dx =f(12)-f(8)\\\\P(8\leq x\leq 12)=(2-\frac{4e^{-\frac{4}{5}.12}}{5}-\frac{1e^{-\frac{1}{5}.12}}{5})-(2-\frac{4e^{-\frac{4}{5}.8}}{5}-\frac{1e^{-\frac{1}{5}.8}}{5})\\\\P(8\leq x\leq 12)=1,9835-1,9583=0,0252=2,52\%$