Question

La Hidra de Lerna es un personaje mitológico con la característica de regenerar, por cada cabeza que le cortaran, dos cabezas. Cada día, un héroe intenta vencerla cortando todas sus cabezas. Si tenía 5 cabezas el primer día que el héroe lo intenta, ¿cuántas cabezas tendrá la Hidra al cabo de 9 días intentando vencerla?

Answer 1

Al cabo de 9 días intentando vencerla la Hidra de Lerna tendrá 2560 cabezas

Procedimiento:

Se trata de un problema de progresión geométrica

Una progresión geométrica es una sucesión en donde cada término se obtiene a partir del anterior multiplicándolo por una cantidad fija o constante llamada razón de la progresión.

La fórmula del término general es la siguiente

$\boxed{ \bold { a_{n} = a_{1} \ . \ r^{\ n-1} }}$  

Donde

$\boxed {\bold { a_{n} \ \ \ \\ \ \ \ \ \to \ t\'ermino \ general}}$

$\boxed {\bold { a_{1} \ \ \ \ \\ \ \ \ \to \ valor \ del \ primer \ t\'ermino }}$

$\boxed {\bold { n \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \to \ n\'umero \ de \ t\'erminos }}$

$\boxed {\bold { r \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to \ raz\'on }}$

Solución

Como mencionamos se trata de un ejercicio de progresión geométrica, dado que a la Hidra de Lerna cada vez que le cortan las cabezas resulta teniendo el doble de cabezas que el día anterior. En otras palabras se refiere a que la Hidra duplica la cantidad de sus cabezas luego de que le cortan las 5 cabezas que tiene el primer día

Por lo tanto la razón (r) de la progresión geométrica es 2

$\boxed {\bold { r = 2 }}$

Luego los términos siguientes se calcularán multiplicando el término anterior por 2, es decir por la razón de la progresión

Para eso debemos determinar antes el valor del primer término de la sucesión.

El cual conocemos, ya que el primer término de la sucesión geométrica es 10. Dado que la hidra de Lerna tiene 5 cabezas al iniciar la puja con el héroe, pero al finalizar la contienda y al serle cercenadas las 5 cabezas que posee, como le crecen 2 por cada cabeza cortada, la hidra tiene 10 cabezas el primer día.

Por tanto el primer término de la sucesión es 10

$\boxed {\bold { a_{1} = 10 }}$

Con este razonamiento podemos decir que si el primer día tiene 10 cabezas, tendrá 20 al segundo día que se las cortan, y luego 40 al tercer día de ser cortadas. De este modo se puede observar como se encuentran los términos de la sucesión

Siendo

$\boxed {\bold { a_{1} = 10 }}$

$\boxed {\bold { a_{2} = 10 \ . \ 2 = 20 }}$

$\boxed {\bold { a_{3} = 20 \ . \ 2 = 40 }}$

Y así sucesivamente

Esto es a mero hecho explicativo de como se genera una progresión geométrica, Y no se trata de calcularla de este modo sino mediante la fórmula general      

Por último sabemos que el número de términos "n"  en esta progresión geométrica es 9, Ya que se nos pide hallar el número de cabezas que la Hidra de Lerna tendrá al término del noveno día.

$\boxed {\bold { n = 9 }}$

Empleamos la fórmula para hallar el término general de una progresión geométrica

$\boxed{ \bold { a_{n} = a_{1} \ . \ r^{\ n-1} }}$

Donde

$\boxed {\bold { n = 9 }}$

$\boxed {\bold { a_{1} = 10 }}$

$\boxed {\bold { r = 2 }}$

Y reemplazamos en la fórmula

$\boxed{ \bold { a_{n} = a_{1} \ . \ r^{\ n-1} }}$

$\boxed{ \bold { a_{9} = 10 \ . \ 2^{\ 9-1} }}$

$\boxed{ \bold { a_{9} = 10 \ . \ 2^{ 8} }}$

$\boxed{ \bold { a_{9} = 10 \ . \ 256 }}$

$\boxed{ \bold { a_{9} = 2560 \ cabezas }}$

La hidra tendrá 2560 cabezas el noveno día