Question

Halla en cada caso el posible valor de A para que se cumpla la condicion pedida. (es decir todos son numeros de 4 digidos, en a)piden el primer digido, en b) necesitas hallar el tercer digido, en c) el ultimo digido y en d) el segundo digido)
a) A370 es divisible por 2 y 3
b) 43A5 es divisible por 3 y 5
c) 238A es divisible por 2 y 5
d) 9A40 es divisible por 7 y 11
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Answer 1

Solo hay que aplicar estos criterios de divisibilidad:

$\frac{}{abcd} = \frac{o}{2} + d$

$\frac{}{abcd} = \frac{o}{3} + a + b + c + d$

$\frac{}{abcd} = \frac{o}{5} + d$

$\frac{}{abcd} = \frac{o}{7} + d + 3c + 2b - a$

$\frac{}{abcd} = \frac{o}{11} + d - c + b - a$

Y recordar estas propiedades:

$k \times \frac{o}{n} = \frac{o}{n}$

$\frac{o}{n} + \frac{o}{n} = \frac{o}{n}$

$- \frac{o}{n} = \frac{o}{n}$

Para explicar una cosa supongamos que:

$a + 13 = \frac{o}{8}$

El 13 se puede escribir como un multiplo de 8 mas 5:

$a + \frac{o}{8} + 5 = \frac{o}{8}$

$a + 5 = \frac{o}{8}$

Tambien se cumple que 5 menos un multiplo de 8 no altera la igualdad:

$a + 5 - 8 = \frac{o}{8}$

$a - 3 = \frac{o}{8}$

...

a) Solo tienes ue aplicar el criterio del 3, ya que el del 2 no nos ayuda:

$A + 3 + 7 = \frac{o}{3}$

$A + 10 = \frac{o}{3}$

"A" puede tomar 3 valores valores:

$A = 2 \: \: \: o \: \: \: A = 5 \: \: \: o \: \: \: A = 8$

b) Aplica denuevo el criterio del 3 porque del 5 no ayuda:

$4 + 3 + A + 5 = \frac{o}{3}$

$A + 12 = \frac{o}{3}$

"A" puede tomar estos valores:

$A = 0 \: \: \: o \: \: \: A = 3 \: \: \: o \: \: \: A = 6 \: \: \: o \: \: \: A = 9$

c) Aqui pasa algo curioso, como el hecho de ser divisible por 5 hace que la ultima cifra termine en 0 o en 5, pero como tambien es divisible por 2, "A" no puede ser 5 porque si fuera ese el caso, sería un numero impar.

Por lo tanto:

$A = 0$

d) Aplica los 2 criterios:

$0 + 12 + 2A - 9 = \frac{o}{7}$

$2A + 3 = \frac{o}{7}$

...

$0 - 4 + A - 9 = \frac{o}{11}$

$A - 13 = \frac{o}{11}$

Ahora hay que aplicar un poco de teoria de modulos:

$2A - 4 = \frac{o}{7}$

$A - 2 = \frac{o}{7}$

$A = \frac{o}{7} + 2$

...

$A - ( \frac{o}{11} + 2) = \frac{o}{11}$

$A - 2 = \frac{o}{11}$

$A = \frac{o}{11} + 2$

Son congruentes, por lo tanto el MCM de 11 y 7 adicionado en 2 tambien tiene que ser divisible por A:

$A = \frac{o}{77} + 2$

Por lo tanto el unico valor posible de "A" es 2, ya que A no puede ser un numero de dos cifras.

Por lo general estos problemas se resuelven usando una calculadora, pero tambien salen con estos metodos tradicionales.