Question

Calcula la altura de la Torre, si desde un punto
situado a 60 metros de la base se ve la
cúspide con un ángulo de elevación de 45°​

Answer 1

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben solo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

Es decir en estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Por ejemplo si se tuvieran los lados 1 k y 2 k, se puede decir que el lado 2 k es el doble del lado 1 k, por lo que no es lo que mide un lado sino que es una proporción entre los lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que una vez conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad.  

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 45-45 (por sus ángulos) o 1-1 (por sus lados).

• En este triángulo ambos ángulos miden 45°, por lo que los dos catetos medirán igual, lo que es decir 1 k, mientras que la hipotenusa medirá  k√2. En donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio

Tenemos un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura de la torre, el lado BC que representa la distancia desde un punto situado en la línea horizontal  hasta la base de la torre, y el lado AB que es la proyección visual del observador hasta la cúspide de la torre con un ángulo de elevación notable de 45°

Solución

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos la distancia hasta la base de la torre y de un ángulo de elevación de 45° desde el punto de observación hasta la cúspide de la torre

• Distancia a la torre = 60 metros

• Ángulo de elevación = 45° (ángulo notable)

• Debemos hallar la altura de la torre

Vamos a relacionar estos datos con la tangente

Recordando que como tenemos un triángulo notable

$\boxed { \bold { tan (45)\° = 1 } }$

Planteamos

$\boxed { \bold { tan (45)\° = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } = \frac{AC}{BC} } }$

$\boxed { \bold { tan (45)\° = \frac{altura \ de \ la \ torre }{ distancia \ a \ la \ torre } = \frac{AC}{BC} } }$

$\boxed { \bold { altura \ de \ la \ torre\ (AC) \ = \ distancia \ a \ la \ torre\ . \ tan (45)\° } }$

$\boxed { \bold { altura \ de \ la \ torre\ (AC) \ = 60 \ metros\ . \ tan (45)\° } }$

Si

$\boxed { \bold { tan (45)\° = 1 } }$

$\boxed { \bold { altura \ de \ la \ torre\ (AC) \ = 60 \ metros\ . \ 1 } }$

$\boxed { \bold { altura \ de \ la \ torre\ (AC) \ = 60 \ metros } }$

La altura de la torre = 60 metros

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La distancia hasta la base de la torre tiene un valor de 60 metros

Y esa distancia es el cateto adyacente al ángulo notable (de elevación) de 45° y esa longitud tiene de valor 1k

Planteamos

$\boxed { \bold { \ distancia \ a \ la \ torre\ = 60 \ metros = 1k } }$

Donde despejaremos a la constante k

$\boxed { \bold { 1k = 60 \ metros } }$

$\boxed { \bold { k = \frac{ 60 \ metros }{1} } }$

$\boxed { \bold { k = 60 } }$

El valor de la constante k es 60

Al ser un triángulo notable de 45-45 el valor del cateto opuesto- que es la altura de la torre hasta su cúspide- equivale a 1k

Que es la altura que nos piden hallar

Planteamos

$\boxed { \bold { altura \ de \ la \ torre\ (AC) \ = 1k } }$

Reemplazando el valor de la constante k

$\boxed { \bold { altura \ de \ la \ torre\ (AC) \ = 1 \ . \ 60 } }$

$\boxed { \bold { altura \ de \ la \ torre\ (AC) \ = 60 \ metros } }$

La altura de la torre = 60 metros

Nota: En un triángulo rectángulo notable de 45-45, los dos catetos iban a medir lo mismo.