En un triangulo ABC, AB=BC, AC=b, las medianas congruentes son perpendiculares.Halle el area de la region triangular ABC.
Respuestas
El área total del triángulo ABC es
Explicación paso a paso:
Las medianas congruentes son las que cortan a los lados AB y BC por la mitad y son perpendiculares, entonces el triángulo AGC (el área azul) es un triángulo rectángulo isósceles. En él aplicamos Pitágoras y queda:
AG y GC son los catetos del triángulo azul por lo que su área queda:
Luego por propiedades de las medianas, el tramo del vértice al baricentro mide el doble que el tramo del baricentro al punto medio del lado correspondiente. Por lo que es:
Y los triángulos verdes son rectángulos de catetos AG y GM el primero y GC y NG el segundo, el área verde queda:
Luego tenemos el triángulo MBN que al tener como lados a MB=AB/2 y NB=BC/2 y compartir el ángulo B con el triángulo ABC es semejante a este. Por ende es MN=AC/2=b/2.
La altura de MNB será la mitad de la altura de ABC y MN constituye su base por lo que el área amarilla de MBN es un cuarto del área del triángulo ABC. Y entonces el área azul, verde y roja suman 3/4 del área de ABC.
El triángulo rojo MGN es semejante al triángulo AGC al ser también rectángulo isósceles y su área es un cuarto de la de AGC al ser sus catetos la mitad de los de AGC. El área de MGN queda:
Y el área total sumando las áreas azul, verde y roja queda:
Y el área total queda:
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