Question

En un triangulo ABC, AB=BC, AC=b, las medianas congruentes son perpendiculares.Halle el area de la region triangular ABC.

Answer 1

El área total del triángulo ABC es $\frac{3}{4}b^2$

Explicación paso a paso:

Las medianas congruentes son las que cortan a los lados AB y BC por la mitad y son perpendiculares, entonces el triángulo AGC (el área azul) es un triángulo rectángulo isósceles. En él aplicamos Pitágoras y queda:

$b^2=AG^2+GC^2\\\\AG=GC=>b^2=2AG^2\\\\AG=GC=\frac{b}{\sqrt{2}}$

AG y GC son los catetos del triángulo azul por lo que su área queda:

$A_1=\frac{AG.GC}{2}=\frac{1}{2}\frac{b}{\sqrt{2}}.\frac{b}{\sqrt{2}}=\frac{b^2}{4}$

Luego por propiedades de las medianas, el tramo del vértice al baricentro mide el doble que el tramo del baricentro al punto medio del lado correspondiente. Por lo que es:

$GC=2GM=>GM=\frac{b}{2\sqrt{2}}\\\\AC=2NG=>NG=\frac{b}{2\sqrt{2}}$

Y los triángulos verdes son rectángulos de catetos AG y GM el primero y GC y NG el segundo, el área verde queda:

$A_2=\frac{b}{\sqrt{2}}.\frac{b}{2\sqrt{2}}=\frac{b^2}{4}$

Luego tenemos el triángulo MBN que al tener como lados a MB=AB/2 y NB=BC/2 y compartir el ángulo B con el triángulo ABC es semejante a este. Por ende es MN=AC/2=b/2.

La altura de MNB será la mitad de la altura de ABC y MN constituye su base por lo que el área amarilla de MBN es un cuarto del área del triángulo ABC. Y entonces el área azul, verde y roja suman 3/4 del área de ABC.

El triángulo rojo MGN es semejante al triángulo AGC al ser también rectángulo isósceles y su área es un cuarto de la de AGC al ser sus catetos la mitad de los de AGC. El área de MGN queda:

$A_3=\frac{A_1}{4}=\frac{b^2}{16}$

Y el área total sumando las áreas azul, verde y roja queda:

$\frac{3}{4}A_{ABC}=A_1+A_2+A_3=\frac{b^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{b^2}{16}\\\\\frac{3}{4}A_{ABC}=\frac{9}{16}b^2$

Y el área total queda:

$A_{ABC}=\frac{4}{3}\frac{9}{16}b^2=\frac{3}{4}b^2$