Question

ECUACIONES DIFERENCIALES

1. Analiza el siguiente caso: En una cierta población la rapidez de nacimientos y de muertes es proporcional a la cantidad de individuos vivos en un momento dado. El siguiente esquema da una mejor idea del fenómeno. Y es el número de individuos presentes en la población en cualquier instante t.



2. Encuentra el modelo matemático del comportamiento del crecimiento de esta población, el cual debe incluir lo siguiente: a) Rapidez de nacimientos. b) Rapidez de muertes. c) Rapidez de cambio del número de individuos en la población.

Answer 1

Sabemos que una población crece en la cantidad de nacimientos y disminuye en la cantidad de muertes; por tanto partimos de esta premisa para construir una ecuación diferencial que nos permita hallar el modelo de simulación de la población.

Explicación:

1. Analiza el siguiente caso: En una cierta población la rapidez de nacimientos (N) y de muertes (M) es proporcional a la cantidad de individuos vivos en un momento dado. Y es el número de individuos presentes en la población en cualquier instante t.

Rapidez de nacimientos:             dN/dt  =  k*Y          (k es una constante)

Rapidez de muertes:             dM/dt  =  w*Y          (w es una constante)

Sabemos que una población crece en la cantidad de nacimientos y disminuye en la cantidad de muertes; es decir, la rapidez de cambio del número de individuos en la población será:

dY/dt  =   dN/dt  -  dM/dt  =   k*Y  -  w*Y            ⇒        dY/dt  =  (k  -  w)*Y

2. Encuentra el modelo matemático del comportamiento del crecimiento de esta población, el cual debe incluir lo siguiente: a) Rapidez de nacimientos. b) Rapidez de muertes. c) Rapidez de cambio del número de individuos en la población.

Partimos de la ecuación diferencial de variables separables hallada en 1. que incluye Rapidez de nacimientos, Rapidez de muertes y Rapidez de cambio del número de individuos en la población, para hallar el modelo de simulación de la población:

dY/dt  =  (k  -  w)*Y                  

Vamos a denotar por    α    la diferencia entre las constantes  k w.  Luego, separamos las variables de la ecuación diferencial y resolvemos por integración:

dY/dt  =  (k  -  w)*Y        ⇒        dY/dt  =  α*Y        ⇒        dY/Y  =  α*dt        ⇒

∫(dY/Y)  =  ∫(α*dt)        ⇒        Ln(Y)  =  α*t  +  C          

donde  C  es una constante de integración

Ahora, tomamos exponenciales base  e  a ambos lados y despejamos  Y:

$e^{Ln(Y)}~=~e^{\alpha*t~+~C}\quqad\Rightarrow\quad Y~=~e^{\alpha*t}*e^{C}\quqad\Rightarrow$

El modelo de simulación de la población es:

$\bold{Y~=~Y_{0}\cdot e^{\alpha*t}}\\\\Llamando~~Y_{0}~=~e^{C}$

donde

Y0   representa la población inicial

α    representa la tasa de crecimiento poblacional, que no es más que la diferencia entre las constantes  k w; es decir, entre la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad.