Question

Halle el nivel máximo de producción, si el nivel de producción está dado por P(x, y)=100x^frac{3}{4}y^frac{1}{4} donde x denota el número de total de unidades de trabajo y el número total de unidades de capital, el costo de trabajo en $150 la unidad y el de capital es de $250 la unidad. El costo total de trabajo y capital está limitado a $50 000 (Utilice el método de Lagrange).

Answer 1

Respuesta a tu pregunta sobre Método de Multiplicadores de Lagrange:

Los valores que maximizan la producción son:

⇒250 unidades de trabajo

⇒50 unidades de capital

Explicación paso a paso:

El método de Lagrange, también conocido como método de multiplicadores de Lagrange es utilizado para resolver problemas de optimización con restricciones.

Primeramente debemos de conocer nuestra función objetivo, la cual nos da el problema:

$P(x,y)=100x^{\frac{3}{4}}y^{\frac{1}{2}}$

por fines prácticos la llamaremos f(x,y)

$f(x,y)=100x^{\frac{3}{4}}y^{\frac{1}{2}}$           Ec.1

Ahora, debemos de encontrar nuestra función de restricción, la cual obtenemos del enunciado:  "el costo total de trabajo y capital está limitado a $50 000", sabemos que el costo de trabajo "x" es de $150 por unidad y el costo de capital "y" es de $250. A manera de ecuación queda:

$150x+250y=50'000$    Ec.2

En el método de multiplicadores de Lagrange se acostumbra que la función restricción este igualada a 0:

$150x+250y-50'000=0$

y esta ecuación será nuestra función g(x,y)

$g(x,y)=150x+250y-50'000$       Ec.3

De acuerdo al método, se cumple que:

$\overrightarrow{\bigtriangledown f}=\lambda* \overrightarrow{\bigtriangledown g}$               Ec.4

donde:

• $\overrightarrow{\bigtriangledown f}, \overrightarrow{\bigtriangledown g}$  = vectores gradiente de f y g respectivamente.
• $\lambda$ = multiplicador de Lagrange

El vector gradiente esta conformado por las derivadas parciales de la función, las cuales representaré por la notación $f_x,f_y,g_x,g_y$ respectivamente.

así pues:

$\overrightarrow{\bigtriangledown f}=\left \langle f_x,f_y \right \rangle$    y    $\overrightarrow{\bigtriangledown g}=\left \langle g_x,g_y \right \rangle$

Sustituyendo en Ec.4

$\left \langle f_x,f_y \right \rangle=\lambda* \left \langle g_x,g_y \right \rangle\\\left \langle f_x,f_y \right \rangle=\left \langle \lambda g_x, \lambda g_y \right \rangle$

Ahora igualamos los componentes de los vectores:

$f_x=\lambda g_x$     ;  $f_y=\lambda g_y$

Despejamos lambda de ambas ecuaciones:

$\frac{f_x}{g_x}=\lambda$   ;     $\frac{f_y}{g_y}=\lambda$

e igualamos:

$\frac{f_x}{g_x}= \frac{f_y}{g_y}$               Ec.  5

Ahora resta encontrar las derivadas parciales de cada función, las cuales son las siguientes:

$f_x=750x^{\frac{-1}{4}}y^{\frac{1}{4}} \\f_y=250x^{\frac{3}{4}}y^{\frac{-3}{4}}$         y

$g_x=150\\g_y=250$

ahora sustituimos en la ec. 5

$\frac{750x^{\frac{-1}{4}}y^{\frac{1}{4}}}{150}= \frac{250x^{\frac{3}{4}}y^{\frac{-3}{4}}}{250}$

$5x^{\frac{-1}{4}}y^{\frac{1}{4}}= x^{\frac{3}{4}}y^{\frac{-3}{4}}$

despejando y aplicando la propiedad:

$\frac{1}{x^n}=x^{-n}$   propiedad

$5x^{\frac{-1}{4}}*x^{\frac{-3}{4}}= y^{\frac{-3}{4}}*y^{\frac{-1}{4}}\\5x^{-1}=y^{-1}\\5y=x$    Ec.6

Esta ecuación es precisamente la que nos ayudará para encontrar la solución del problema. Resolvemos para ello el sistema de ecuaciones que se forma con esta ecuación (Ec.6) y la de restricción (Ec.2).

$5y=x$

$150x+250y=50'000$

Sustituimos x en la ec.2:

$150(5y)+250y=50'000\\750y+250y=50'000\\1000y=50'000\\y=50$

y finalmente para obtener y, sustituimos en la Ec.6

$5(50)=x\\x=250$

Por lo tanto, los valores que maximizan la producción son x= 250 y y=50