Question

En una progresión geométrica el último término es 1/4, el número de términos 9 y la razón 1/2, determinar el primer término y la suma de ellos.

Answer 1

Respuesta:

$T_{1} =64$

$S_{9} =127,5$

Explicación:

Nos dicen que el ultimo término es 1/4, que hay en total 9 términos y que la razón es 1/2, y nos piden el primer termino y la suma de todos los términos.

Que te parece si el primer es 1/4 y que la razón sea 2 (o sea que se voltea la razón), ahora tenemos que hallar el ultimo termino o el termino 9.

Para hallar eso, existe una formula "$T_{k} =t_{1}q^{k-1}$" (siendo "k" el numero del termino y "q" la razón)

Reemplazamos para comenzar a resolver:

$T_{k} =t_{1}q^{k-1}$

$T_{9} =\frac{1}{4}x 2^{9-1}$

$T_{9} =\frac{2^{8} }{2^{2} }$

$T_{9} =2^{6} =64$

Recuerda que hemos alterado algunas cosas, así que hay que volverlo a la normalidad.

Ya tenemos que "64" es el primer termino, ahora hay que hallar la suma de todos los términos.

Utilizamos la formula para hallar la suma de los términos "$S_{k} =t_{1}(\frac{q^{k} -1}{q-1} )$"

Así que vamos a reemplazar para desarrollar:

$S_{k} =t_{1}(\frac{q^{k} -1}{q-1} )$

$S_{9} =64(\frac{(\frac{1}{2} )^{9} -1}{\frac{1}{2} -1} )$

$S_{9} =64(\frac{(\frac{1}{2^{9} } -1}{-\frac{1}{2} } )$

$S_{9} =64(\frac{(\frac{1}{512 } -1}{-\frac{1}{2} } )$

$S_{9} =64(\frac{(\frac{1}{512 } -\frac{512}{512} }{-\frac{1}{2} } )$

$S_{9} =64(\frac{-\frac{511}{512 }}{-\frac{1}{2} } )$

$S_{9} =64(\frac{1022}{512} )$

$S_{9} =64(\frac{511}{256})$

$S_{9} =\frac{511}{4}=127,5$

Eso seria todo, perdón por la demora pero multiplicar dividir y bla bla bla, era un poco extenso