• Asignatura: Matemáticas
  • Autor: josephtaype49
  • hace 7 años

ayuda por favor ayuda :(

Adjuntos:

Respuestas

Respuesta dada por: JuanCarlosAguero
1

Respuesta:

 \mathsf{ N = 672 }

Explicación paso a paso:

________________________

Parte teórica:

Si tienes un número que está descompuesto en factores primos:

 \mathsf{ N = a^{\alpha} \cdot b^{\beta}  \cdot c^{\gamma} \cdot ...}

Entonces la suma de divisores (SD) es:

 \mathsf{ SD = \left ( \frac{a^{ \alpha +1} -1 }{a-1} \right ) \left (  \frac{b^{ \beta +1} -1 }{b-1} \right ) \left ( \frac{c^{ \gamma +1} -1}{c-1} \right )}

________________________

Problema:

Hallar el número N = 2⁵×a×b , sabiendo que "a" y "b" son números primos mayores que 2 y que la suma de todos sus divisores es el triple de él

 \mathsf{ \left ( \frac{2^{5+1} -1 }{2-1} \right ) \left (  \frac{a^{1+1} -1 }{a-1} \right ) \left ( \frac{b^{1+1} -1}{b-1} \right )= 3N }

 \mathsf{ \left ( \frac{2^{6} -1 }{1} \right ) \left (  \frac{a^{2} -1 }{a-1} \right ) \left ( \frac{b^{2} -1}{b-1} \right )= 3 \cdot 2^5 \cdot a \cdot b  }

 \mathsf{ \left ( 64 -1 \right ) \left (  \frac{(a + 1)(a - 1) }{a-1} \right ) \left ( \frac{(b + 1)(b - 1)}{b-1} \right )= 3 \cdot 2^5 \cdot a \cdot b  }

\mathsf{ \left ( 63 \right ) \left (  a + 1 \right ) \left ( b + 1 \right )= 3 \cdot 2^5 \cdot a \cdot b  }

\mathsf{ \left (  \frac{63}{3} \right ) \left (  a + 1 \right ) \left ( b + 1 \right )= 2^5 \cdot a \cdot b  }

\mathsf{ \left ( 21 \right ) \left (  a + 1 \right ) \left ( b + 1 \right )= 2^5 \cdot a \cdot b  }

\mathsf{ \left ( 3 \cdot 7 \right ) \left (  a + 1 \right ) \left ( b + 1 \right )= 2^5 \cdot a \cdot b  }

Recordar que "a" es un número primo , y que todos los números primos son impares, pero si le sumo una unidad (a+1) el resultado será un número par , lo mismo pasa para "b"

Analicemos está ecuación

\mathsf{ 3 \cdot 7 \cdot  \left (  a + 1 \right ) \left ( b + 1 \right )= 2^5 \cdot a \cdot b  }

Para que la expresión de la izquierda sea igual a la expresión de la derecha , debe tener dos factores primos (a y b) , pero el (a+1) y (b+1) son pares , entonces la única opción es que esos dos factores primos sean 3 y 7

 \mathsf{ a = 3 \: \: \: \: \:  \: b = 7 }

La ecuación se puede comprobar:

\mathsf{ 3 \cdot 7 \cdot  \left (  3 + 1 \right ) \left ( 7 + 1 \right )= 2^5 \cdot 3 \cdot 7  }

\mathsf{ 3 \cdot 7 \cdot  \left (  4 \right ) \left ( 8 \right )= 2^5 \cdot 3 \cdot 7  }

\mathsf{ 3 \cdot 7 \cdot  \left (   {2}^{2} \right ) \left (  {2}^{3}  \right )= 2^5 \cdot 3 \cdot 7  }

\mathsf{ 3 \cdot 7 \cdot    {2}^{5}= 2^5 \cdot 3 \cdot 7  }

Hallar el número:

 \mathsf{ N = 2^5 \cdot a \cdot b }

 \mathsf{ N = 32 \cdot 3 \cdot 7 }

 \mathsf{ N = 672 }

El número es 672


josephtaype49: gracias cark :)
Preguntas similares