Question

Calcular la altura de un edificio observado con un teodolito de 1.20m de altura y un angulo de elevacion de 37°¿habiendose ubicado el observador a 40m del pie del edificio

Answer 1

El edificio tiene 31,20 metros de altura

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

El triángulo dado resulta ser un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

En estos triángulos se utiliza la letra “k” que es una proporción entre sus lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad.  

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados)

• Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k, y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k . En donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Tenemos un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AC que equivale a una porción de la altura del edificio, el lado BC que representa la distancia del observador al edificio y el lado AB es la proyección visual del observador con el teodolito al  edificio con un ángulo de elevación de 37°.

La visual del observador está a 1,20 metros del plano horizontal Calcularemos antes una porción de la altura del edificio.

Solución:

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos

• Distancia del observador al edificio = 40 metros

• Ángulo de elevación = 37°

• Debemos hallar la altura del edificio

Relacionamos estos datos con la tangente del ángulo

Como tenemos un triángulo notable

$\boxed{ \bold { tan(37)\° = \frac{3}{4} } }$

Planteamos

$\boxed{ \bold { tan(37)\° = \frac{ cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } = \frac{AB}{BC} } }$

$\boxed{ \bold { tan(37)\° = \frac{ porci\'on \ altura \ edificio }{ distancia \ al \ edificio } = \frac{AB}{BC} } }$

$\boxed{ \bold {porci\'on \ altura \ edificio \ (AB) = distancia \ al \ edificio \ . \ tan(37)\° } }$

$\boxed{ \bold {porci\'on \ altura \ edificio \ (AB) = 40 \ metros \ . \ tan(37)\° } }$

Si

$\boxed{ \bold { tan(37)\° = \frac{3}{4} } }$

$\boxed{ \bold {porci\'on \ altura \ edificio \ (AB) = 40 \ metros \ . \ \frac{3}{4} } }$            

$\boxed{ \bold {porci\'on \ altura \ edificio \ (AB) = 30 \ metros } }$

La porción de altura del edificio desde donde está el teodolito es de 30 metros

Para obtener la altura total del edificio, le debemos sumar a la porción de  altura hallada la altura del teodolito

$\boxed{ \bold {porci\'on \ altura \ edificio \ (AB) + \ altura \ teodolito\ (CD) }}$

Reemplazamos

$\boxed{ \bold {30 \ metros + \ 1,20 \ metros = 31,20 \ metros }}$

La altura del edificio es de 31,20 metros

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La distancia del observador al edificio es de 40 metros

Y al ser el lado adyacente al ángulo notable de 37° medirá 4k

Planteamos

$\boxed{ \bold { distancia \ al \ edificio = 40 \ metros = 4k } }$

Despejamos a la constante k

$\boxed{ \bold { 4k= 40 \ metros } }$

$\boxed{ \bold { k= \frac{ 40 \ metros }{4} } }$

$\boxed{ \bold { k= 10 } }$

El valor de la constante k es 10

Al ser este un triángulo notable  37°- 53° el cateto opuesto al ángulo de 37° -que es una porción de la altura del edificio - equivale a 3k

Planteamos:

$\boxed{ \bold {porci\'on \ altura \ edificio \ (AB) = 3k } }$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\boxed{ \bold {porci\'on \ altura \ edificio \ (AB) = 3 \ . 10 } }$

$\boxed{ \bold {porci\'on \ altura \ edificio \ (AB) = 30 \ metros } }$

Y como explicamos antes a la porción de altura hallada le sumamos la altura del teodolito

$\boxed{ \bold {porci\'on \ altura \ edificio \ (AB) + \ altura \ teodolito\ (CD) }}$

Reemplazamos

$\boxed{ \bold {30 \ metros + \ 1,20 \ metros = 31,20 \ metros }}$

La altura del edificio es de 31,20 metros