Question

1 calcula los elementos s un triángulo oblicuángulo si sabe que a= 19 cm b = 24 cm c= 13cm

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Answer 1

Los valores de los ángulos del triángulo oblicuángulo dado son los siguientes: el ángulo A tiene un valor de 52°1'12'', el ángulo B tiene un valor de 95°20'35'' y el ángulo C tiene un valor de 32°38'13''

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso de trata de un triángulo oblicuángulo.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} -2 \ . \ b\ . \ c \ . \ cos(\alpha) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} -2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} -2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma) }}$

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Solución:

Nos piden calcular los elementos de un triángulo oblicuángulo en donde se han dado como datos las medidas de sus tres lados

Por lo tanto hallaremos los valores de cada uno de sus tres ángulos

Hallando el valor del ángulo A (ángulo α)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} -2 \ . \ b\ . \ c \ . \ cos(\alpha) }}$

Despejando

$\boxed {\bold { cos(\alpha) = \frac{ a^{2} - b^{2} - c^{2} }{ -2 \ . \ b\ . \ c } }}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold { cos(\alpha) = \frac{ 19^{2} - 24^{2} - 13^{2} }{ -2 \ . \ 24\ . \ 13 } }}$

$\boxed {\bold { cos(\alpha) = \frac{ 361 - 576 - 169 }{ -624 } }}$

$\boxed {\bold { cos(\alpha) = \frac{ -384 }{ -624 } }}$

$\boxed {\bold { cos(\alpha) = \frac{ 384 }{624 } }}$

$\boxed {\bold { cos(\alpha) = 0,6153846153846 }}$

$\boxed {\bold { \alpha = arccos(0,6153846153846 ) }}$

$\boxed {\bold { \alpha = 52,02012755 }}$

$\boxed {\bold { \alpha = 52\° 1' 12'' }}$

El valor del ángulo A es de 52°1'12''

Hallando el valor del ángulo B (ángulo β)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} -2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta) }}$

Despejando

$\boxed {\bold { cos(\beta) = \frac{ b^{2} - a^{2} - c^{2} }{ -2 \ . \ a\ . \ c } }}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold { cos(\beta) = \frac{ 24^{2} - 19^{2} - 13^{2} }{ -2 \ . \ 19\ . \ 13 } }}$

$\boxed {\bold { cos(\beta) = \frac{ 576 - 361 - 169 }{ -494 } }}$

$\boxed {\bold { cos(\beta) = \frac{ 46 }{ -494 } }}$

$\boxed {\bold { cos(\beta) = -\frac{ 46 }{ 494 } }}$

$\boxed {\bold { cos(\beta) = -0,0931174089068 }}$

$\boxed {\bold { \beta =arccos ( -0,0931174089068) }}$

$\boxed {\bold { \beta = 95,34297494 }}$

$\boxed {\bold { \beta = 95\°20'35'' }}$

El valor del ángulo B es de 95°20'35''

Hallando el valor del ángulo C (ángulo γ)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} -2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma) }}$

Despejando

$\boxed {\bold { cos(\gamma) = \frac{ c^{2} - a^{2} - b^{2} }{ -2 \ . \ a\ . \ b } }}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold { cos(\gamma) = \frac{ 13^{2} - 24^{2} - 19^{2} }{ -2 \ . \ 24\ . \ 19 } }}$

$\boxed {\bold { cos(\gamma) = \frac{ 169 - 576- 361 }{ -912 } }}$

$\boxed {\bold { cos(\gamma) = \frac{ -768 }{ -912 } }}$

$\boxed {\bold { cos(\gamma) = \frac{ 768 }{912 } }}$

$\boxed {\bold { cos(\gamma) = 0,8421052634578 } }}$

$\boxed {\bold { \gamma = arccos ( 0,8421052634578 ) } }}$

$\boxed {\bold { \gamma = 32,636875 } }}$

$\boxed {\bold { \gamma = 32\° 38'13'' } }}$

El valor del ángulo C es de 32°38'13''

Answer 2

Calculando los elementos de un triángulo oblicuángulo nos da como resultado:

• A = 52.02°
• B = 95.34°
• C = 32.63°

Teorema del coseno

El teorema del coseno (también conocido como la Ley de cosenos), relaciona dos lados, un lado de un triángulo y el ángulo que se forma por la relación de los dos lados.

a² = b² + c²  - 2bc*CosA

Resolviendo:

• Primero hallamos cuanto mide A.

(19)² = (24)² + (13)²  - 2(24)(13)*CosA

361 = 576 + 169  - 624*CosA

624*CosA = 576 + 169 - 361

624*CosA = 384

CosA = 384/624

CosA = 0.6153846

A = Cos⁻¹(0.6153846)

A = 52.02°

• Segundo, cuanto mide B:

(24)² = (19)² + (13)²  - 2(19)(13)*CosB

576  = 361 + 169  - 494*CosB

494*CosB = 361 + 169 - 576

494*CosB = -46

CosB = -46/494

CosB = -0.0931

B = Cos⁻¹(-0.0931)

B = 95.34°

• Por último, hallamos el valor de C:

(13)² = (19)² + (24)²  - 2(19)(24)*CosC

169 = 361 + 576 - 912*CosC

169 = 937 - 912*CosC

912*CosC = 937 - 169

912*CosC = 768

CosC = 768/912

CosC = 0.842105

C = Cos⁻¹(0.842105)

C = 32.63°

Si deseas tener más información acerca de teorema del coseno , visita:

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