Question

Desde un helicóptero que está a 300 metros de altura, por el lado derecho con ángulo de depresión de 40° de observa un conjunto de casas A y por el lado izquierdo con ángulo de depresión de 60° se observa otro conjunto de casas B
1. La distancia entre el helicóptero y el conjunto de casa
A a. 253,23 m
b.466,71 m
c. 428,56 m
d. 378,56 m
2. La distancia entre el helicóptero y el conjunto de casas B es
a. 346,41m
b. 456,23 m
c. 673,12 m
d. 378 m
3. La distancia entre los conjuntos de casas A y B es
a. 253, 18 m
b. 873,78 m
c. 530,7 m
d. 378,43 m .
4. El ángulo con que un habitante del conjunto A ve el helicóptero es: a. 60°
b. 40°
c. 50°
d. 25° .
5. El ángulo con que un habitante del conjunto B ve el helicóptero es: a. 60°
b. 40° c.
50°
d. 25°
pofa me ayudan si es con procedimiento mejor,gracias ;)

Answer 1

La distancia del helicóptero al conjunto de casas A es de 466,71 metros, y al conjunto de casas B de 346,41 metros. La distancia entre los conjuntos de casas A y B es de 530,70 metros. El ángulo con que ve un habitante del conjunto A al helicóptero es de 40°. Y un habitante del conjunto B lo ve con un ángulo de 60°

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo oblicuángulo.

Como conocemos la altura a la cual se encuentra el helicóptero para resolver este triángulo oblicuángulo vamos a emplear la estrategia de la altura, de manera que la altura lo divida en dos triángulos rectángulos para resolverlos con los datos que tenemos.

Nos quedan entonces dos triángulos rectángulos el ACE y el CEB, que resolveremos por separado.

Se adjunta gráfico para una mejor comprensión del planteo y desarrollo del  ejercicio.

 

Hallando la distancia entre el helicóptero y el conjunto de casas A

Triángulo rectángulo ACE

Conocemos la altura del helicóptero y de un ángulo de depresión de 40°

Como conocemos el valor del cateto opuesto (altura = h) y de un ángulo de depresión de 40° podemos relacionar a ambos mediante el seno

Planteamos

$\boxed {\bold { sen (40\°) = \frac{cateto \ opuesto}{hipotenusa} = \frac{h}{a} }}$

$\boxed {\bold { sen (40\°)= \frac{h}{a} }}$

$\boxed {\bold { a = \frac{h}{ sen (40\°) } }}$

$\boxed {\bold { a = \frac{300 \ metros}{ sen (40\°) } }}$

$\boxed {\bold { a = \frac{300 \ metros}{ 0,6427876096865 } }}$

$\boxed {\bold { a = 466,71 \ metros }}$

La distancia del helicóptero al conjunto de casas A = 466,71 m

Hallando la distancia entre el helicóptero y el conjunto de casas B

Triángulo rectángulo CBE

Conocemos la altura del helicóptero y de un ángulo de depresión de 60°

Como conocemos el valor del cateto opuesto (altura = h) y de un ángulo de depresión de 60° podemos relacionar a ambos mediante el seno

Planteamos

$\boxed {\bold { sen (60\°) = \frac{cateto \ opuesto}{hipotenusa} = \frac{h}{b} }}$

$\boxed {\bold { sen (60\°)= \frac{h}{b} }}$

$\boxed {\bold { b = \frac{h}{ sen (60\°) } }}$

$\boxed {\bold { b = \frac{300 \ metros}{ sen (60\°) } }}$

$\boxed {\bold { b = \frac{300 \ metros}{ 0,8660254037844 } }}$

$\boxed {\bold { b = 346,41 \ metros }}$

La distancia del helicóptero al conjunto de casas B = 346,41 m

Hallando la distancia entre los conjuntos de casas A y B

Para hallar esa distancia se deben calcular dos distancias distintas en cada uno de los triángulos rectángulos.

Una denotada como x en el triángulo rectángulo ACE

La otra llamada y en el triángulo rectángulo CBE

Una vez halladas las distancias x e y, siendo sumadas ambas obtendremos la distancia entre los conjuntos de casas A y B

Como conocemos el valor del cateto opuesto (altura = h) y de los dos ángulos de depresión para cada uno de los triángulos rectángulos vamos a hallar las incógnitas x e y - en cada uno de los triángulos- relacionándolos con la tangente del ángulo

Hallando la distancia x

Triángulo rectángulo ACE

Planteamos

$\boxed {\bold { tan (40\°) = \frac{cateto \ opuesto}{cateto \ adyacente} = \frac{h}{x} }}$

$\boxed {\bold { tan (40\°)= \frac{h}{x} }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{h}{ tan (40\°) } }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{300 \ metros}{ tan (40\°) } }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{300 \ metros}{ 0,8390996311772 } }}$

$\boxed {\bold { x = 357,50 \ metros }}$

Hallando la distancia y

Triángulo rectángulo CBE

Planteamos

$\boxed {\bold { tan (60\°) = \frac{cateto \ opuesto}{cateto \ adyacente} = \frac{h}{y} }}$

$\boxed {\bold { tan (60\°)= \frac{h}{y} }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{h}{ tan (60\°) } }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{300 \ metros}{ tan (60\°) } }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{300 \ metros}{ 1,7320508075688 } }}$

$\boxed {\bold { y = 173,20 \ metros }}$

$\boxed {\bold { Distancia \ Conjuntos \ Casas \ A \ y \ B = x + y}}$

$\boxed {\bold { Distancia \ Conjuntos \ Casas \ A \ y \ B = 357,50 \ metros+ 173,20\ metros }}$

$\boxed {\bold { Distancia \ Conjuntos \ Casas \ A \ y \ B = 530,70 \ metros }}$

La distancia entre los conjuntos de casas A y B es = 530,70 m

El ángulo con que ve un habitante del conjunto A al helicóptero es de 40°. Y un habitante del conjunto B lo ve con un ángulo de 60°

En el gráfico se han trazado dos líneas horizontales y paralelas (P1 y P2)  

Estas dos paralelas están cortadas por una secante, que son las líneas que parten desde la ubicación del helicóptero hasta los conjuntos de casas

Al tratarse de paralelas cortadas por secante los ángulos alternos internos son homólogos. El ángulo de 40 ° superior tiene su homólogo en la parte inferior como alterno interno y lo mismo sucede para el ángulo de 60°

Es decir si una recta transversal corta a dos rectas paralelas los ángulos alternos internos son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y de la transversal. Esos ángulos son iguales