Question

La arena para las luchas de sumo es circular y tiene una circunferencia o perímetro de 13.6 metros ¿cual es el área de la arena en metros cuadrados?

Answer 1

El área de la arena mide aproximadamente 14,70 metros cuadrados

Procedimiento:

Recordemos que un círculo está formado con una circunferencia, la cual es un contorno o borde cerrado que rodea al círculo en toda su longitud. Y el espacio interior dentro de la circunferencia es el círculo mismo

Para poder calcular el área de un círculo debemos conocer primeramente la fórmula básica para obtener su área la cual se expresa de la siguiente manera

$\boxed { \bold { \'Area \ del \ C\'irculo = \pi \ . \ r^{2} }}$

Donde π es una constante de valor aproximado a 3,1416 y r es el radio del círculo

Como en este ejercicio sólo nos dan como dato la longitud o perímetro de la circunferencia que encierra al círculo se explicará como se llega a otras fórmulas  para resolver el problema con un razonamiento sencillo

Cálculo del área de un círculo conociendo solamente su circunferencia

Se puede calcular a partir de la longitud de la circunferencia el radio

Siendo C la longitud de la circunferencia que es igual a π multiplicado por su diámetro

$\boxed { \bold { C= \pi \ . \ D} }}$  

Como el diámetro vale el doble de lo que vale el radio podemos sustituir

$\boxed { \bold { C = \pi \ . \ r^{2} }}$

Si despejamos en la fórmula para aislar el radio obtenemos

$\boxed { \bold { r = \frac{ C}{2\pi } }}$

De este modo se puede hallar el radio mediante la longitud de la circunferencia y luego reemplazar el valor hallado del radio en la fórmula general para el área de un círculo

También podemos hacer esto de manera directa

Si sabemos que el área del círculo está dado por

$\boxed { \bold { \'Area \ del \ C\'irculo = \pi \ . \ r^{2} }}$

Se puede reemplazar el valor del radio en esta fórmula si sabemos que

$\boxed { \bold { r = \frac{ C}{2\pi } }}$

Quedando

$\boxed { \bold { \'Area \ del \ C\'irculo = \pi \ . \left ( \frac{C}{2\pi\right)^{2} } }}$

Solución:

Lo resolveremos de las dos maneras y el resultado debe ser el mismo

1) Hallando el radio del círculo

$\boxed { \bold { r = \frac{ C}{2\pi } }}$

Reemplazamos valores

$\boxed { \bold { r = \frac{ 13,6}{2\pi } }}$

$\boxed { \bold { r = 2,16 \ metros }}$

Reemplazamos en la fórmula general

$\boxed { \bold { \'Area \ del \ C\'irculo = \pi \ . \ r^{2} }}$

$\boxed { \bold { \'Area \ del \ C\'irculo = \pi \ . \ 2,16^{2} }}$

$\boxed { \bold { \'Area \ del \ C\'irculo = \pi \ . \ 4,6656 }}$

$\boxed { \bold { \'Area \ del \ C\'irculo \approx 14,70 \ metros^{2} }}$

El área de la arena es de ≅ 14,70 metros cuadrados

2) Empleando la fórmula en donde hemos despejado y sustituido para llegar a ella

$\boxed { \bold { \'Area \ del \ C\'irculo = \pi \ . \left ( \frac{C}{2\pi\right)^{2} } }}$

Remplazamos valores

$\boxed { \bold { \'Area \ del \ C\'irculo = \pi \ . \left ( \frac{13,6}{2\pi\right)^{2} } }}$    

Reemplazamos π con una aproximación

$\boxed { \bold { \'Area \ del \ C\'irculo = \pi \ . \left ( \frac{13,6}{2 \ . \ 3,1459265\right)^{2} } }}$

Operamos

$\boxed { \bold { \'Area \ del \ C\'irculo = \pi \ . \left ( \frac{13,6}{6,2831853\right)^{2} } }}$

$\boxed { \bold { \'Area \ del \ C\'irculo = \pi \ . \ 2,1645^{2} }}$

$\boxed { \bold { \'Area \ del \ C\'irculo = \pi \ . \ 4,68506025 }}$

$\boxed { \bold { \'Area \ del \ C\'irculo \approx 14,70 \ metros^{2} }}$

El área de la arena es de ≅ 14,70 metros cuadrados