Question

Dos barcos salen del puerto con rumbos distintos formando sus direcciones un ángulo de 58°. Si sus velocidades son de 35 km/h y 42 km/h. ¿A qué distancia se encontrarán al cabo de tres horas?

Answer 1

La distancia entre los barcos al cabo de 3 horas de navegación es de aproximadamente 113,49 kilómetros  

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

• El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

• El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed { \bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b\ . \ c \ . \ cos(\alpha) }}$

$\boxed { \bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a\ . \ c \ . \ cos(\beta) }}$

$\boxed { \bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a\ . \ b \ . \ cos(\gamma) }}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Solución:

Nos piden determinar la distancia que existe entre ambos barcos los cuales partieron del mismo puerto al cabo de tres horas de navegación, donde cada una de las direcciones de las naves forman un ángulo de 58°

Este problema se puede representar en un imaginario triángulo ABC en donde

El lado AC (lado b) representa la trayectoria del barco que va a una velocidad de 35 km/h, el lado BC (lado a) equivale a la trayectoria del barco que va a una velocidad de 42 km/h, donde ambos salieron del mismo puerto con rumbos distintos formando sus direcciones un ángulo de 58° y el lado AB (lado c) conforma la distancia que habrá entre ambas naves al cabo de tres horas de navegación.

Se pide hallar la distancia entre ambos barcos después de 3 horas de navegación, que es el lado AB (lado c) en el triángulo.

Hallando la distancia de recorrido de los barcos al cabo de 3 horas

• El barco A va a una velocidad de 35 km/h

• Por lo tanto en 3 horas recorre 105 km

• El barco B va a una velocidad de 42 km/h

• Por lo tanto en 3 horas recorre 126 km

Hallando la distancia entre ambos barcos después de 3 horas de navegación (Lado AB - lado c)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed { \bold { AB^{2} = BC^{2} + AC^{2} - 2 \ . \ BC\ . \ AC \ . \ cos(\gamma) }}$

o

$\boxed { \bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a\ . \ b \ . \ cos(\gamma) }}$

Reemplazamos valores

$\boxed { \bold { AB^{2} = BC^{2} + AC^{2} - 2 \ . \ BC\ . \ AC \ . \ cos(\gamma) }}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 126^{2} + 105^{2} - 2 \ . \ 126\ . \ 105 \ . \ cos(58\°) }}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 15876 + 11025 - 26460\ . \ cos(58\°) }}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 26901 - 26460\ . \ cos(58\°) }}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 26901 - 26460\ . \ 0,5299192642332 }}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 26901 - 14021,66 }}$

$\boxed { \bold { AB^{2} = 12879,34 }}$

$\boxed { \bold { \sqrt{AB^{2} }= \sqrt{ 12879,34 } }}$

$\boxed { \bold { AB = \sqrt{ 12879,34 } }}$

$\boxed { \bold { AB \approx 113,487179 }}$

$\boxed { \bold { AB \approx 113,49 \ kil\'ometros }}$

La distancia entre los barcos al cabo de 3 horas de navegación es de ≅ 113,49 kilómetros