Question

Hallar la tabla de divisoresde 280

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Cuando se trata de una cantidad muy grande hay un procedimiento para saber cuantos divisores tiene un número. El cual consiste en descomponer el número en sus factores primos. Una vez descompuesto el número, a los exponentes de los factores primos se les aumenta una unidad(se les suma uno); luego estos se multiplican . El resultado de esta multiplicación va a ser el número de divisores que tiene el número.

En base a esto resolveremos y hallaremos los valores de x

• EL número  D=$5.21^{x}$ tiene un total de 50 divisores. Hallar x

    Terminemos de descomponer el número en sus factores primos

      $D=5.21^{x} \\D=5.(7.3)^{x}\\ D= 5.7^{x}.3^{x}$

      A los exponentes de los factores primos se les aumenta una unidad

       El exponente de 5 es 1.    1+1=2

        El exponente de 7 es x.     x+1

         El exponente de 3 es x     x+1

    Multiplicamos los exponentes

     2.(x+1).(x+1) como el numero de divisores es 50 : resolvemos la ecuación:

      2.(x+1).(x+1)=50

       $(x+1)^{2}=\frac{50}{2} \\\sqrt{(x+1)^{2}} =\sqrt{25} \\x+1=5\\x=5-1\\x=4$

    solución x=4

   por lo tanto el numero es  $D= 5.7^{4}.3^{4}= 972405$ (tiene 50 divisores)

• EL número  E=$5.10^{x}$ tiene un total de 42 divisores. Hallar x

  Terminemos de descomponer el número en sus factores primos

      $E=5.10^{x} \\E=5.(5.2)^{x}\\ E= 5.5^{x}.2^{x}=5^{1+x} .2^{x}$

      A los exponentes de los factores primos se les aumenta una unidad

       El exponente de 5 es 1+x.    (1+x)+1=x+2

        El exponente de 2 es x.     x+1

       

    Multiplicamos los exponentes

     (x+2).(x+1) como el numero de divisores es 42 : resolvemos la ecuación:

     (x+2).(x+1) =42

      $x^{2} +x+2x+2=42\\x^{2} +3x+2=42\\x^{2} +3x+2-42=0\\x^{2} +3x-40=0\\(x-5)(x+8)=0$

      la ecuación tiene dos raíces:

        x-5=0  y x+8=0

         x=5     ,   x=-8

       Tomaremos solamente la solución positiva . La negativa se descarta porque el número de divisores de un número se representa con números positivos solamente

solución : x=5

   por lo tanto el numero es $E=5^{1+x} .2^{x}= 5^{1+5} .2^{5}=5^{6} .2^{5}= 500000$ (tiene 42 divisores)

• EL número  F=$6^{x}.10$ tiene un total de 40 divisores. Hallar x

    Terminemos de descomponer el número en sus factores primos

      $F=6^{x}.10 \\F=(3.2)^{x}.5.2\\ F= 3^{x} .2^{x}.5.2\\F=3^{x} .2^{x+1}.5.$

      A los exponentes de los factores primos se les aumenta una unidad

         El exponente de 3 es x.       x+1

        El exponente de 2 es x+1.     x+1+1= x+2

         El exponente de 5 es 1 .      1+1=2

    Multiplicamos los exponentes

     2.(x+1).(x+2) como el numero de divisores es 40 : resolvemos la ecuación:

      2.(x+1).(x+2)=40

       $2.(x+1).(x+2)=40\\(x^{2}+2x+x+2)=\frac{40}{2} \\(x^{2}+3x+2)= 20\\x^{2}+3x+2-20=0\\x^{2}+3x-18=0\\(x+6)(x-3)=0$

    La ecuación tiene dos raíces . solamente tomaremos como solución la raíz positiva

                     x-3=0

                    solución  x=3

   por lo tanto el numero es  $F=3^{x} .2^{x+1}.5.=3^{3} .2^{3+1}.5.= 3^{3} .2^{4}.5=2160$ (tiene 40 divisores)