Question

. Un niño sostiene 2 globos. el ángulo de elevación del globo que tiene en la mano
derecha es de 20⁰ y la cuerda mide 60 mts . el ángulo de elevación del globo que
sostiene en la mano izquierda es de 26⁰y la cuerda mide 75 mts . cuál es la distancia
que hay entre los dos globos?

Answer 1

La distancia entre los dos globos es de aproximadamente 124,40 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno, también llamado ley del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

• El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

• El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed { \bold { a^{2} = b^{2} +c^{2} - 2 \ . \ . b \ . \ c \ . \ cos(\alpha)}}$

$\boxed { \bold { b^{2} = a^{2} +c^{2} - 2 \ . \ . a \ . \ c \ . \ cos(\beta)}}$

$\boxed { \bold { c^{2} = a^{2} +b^{2} - 2 \ . \ . a \ . \ b \ . \ cos(\gamma)}}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Solución

Nos piden determinar la distancia entre dos globos que sostiene un niño, uno en su mano derecha y el otro en su mano izquierda, sabiendo los ángulos de elevación de los dos globos y de las longitudes de las cuerdas que los sujetan

Esta situación se puede representar en un imaginario triángulo ABC en donde

El lado AC (lado a) representa la longitud de la cuerda que sujeta al globo que el niño sostiene con su mano izquierda- el cual tiene un ángulo de elevación de 26°- , el lado BC (lado b) que equivale a la longitud de la cuerda que sujeta al globo que el niño sostiene con su mano derecha- el cual tiene un ángulo de elevación de 20°- y el lado AB (lado c) que conforma la distancia entre los dos globos que sujeta el niño.

Hallando el valor del ángulo γ  -Ángulo que conforman las cuerdas con las que el niño sostiene los dos globos-

El niño se encuentra parado sosteniendo ambos globos sobre la línea de suelo o un plano horizontal

Como la línea es horizontal y es lo mismo que prolongar una linea recta, y el ángulo que se obtiene al prolongar una línea recta tiene un valor de 180°

Por lo tanto para hallar el ángulo que conforman las cuerdas con las que el niño sostiene los globos simplemente hay que restar de 180° el valor de los dos ángulos de elevación de cada uno de los globos.

Planteamos

$\boxed{ \bold { \gamma = 180\° - 26\° - 20\°}}$

$\boxed{ \bold { \gamma = 134\° }}$

El ángulo que conforman las cuerdas con las que el niño sostiene los dos globos es de 134°

Luego conociendo la longitud de las dos cuerdas que sujetan a los dos globos el valor de el ángulo que forman estas, -que resulta ser el ángulo opuesto al lado- que equivale a la distancia que nos piden hallar empleamos el teorema del coseno para resolver el problema

Hallando la distancia entre los dos globos  (Lado AB / c)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed { \bold { AB^{2} = AC^{2} +BC^{2} - 2 \ . \ . AC \ . \ BC \ . \ cos(\gamma)}}$

ó

$\boxed { \bold { c^{2} = a^{2} +b^{2} - 2 \ . \ . a \ . \ b \ . \ cos(\gamma)}}$

Reemplazamos valores

$\boxed { \bold { c^{2} = a^{2} +b^{2} - 2 \ . \ . a \ . \ b \ . \ cos(\gamma)}}$

$\boxed { \bold { c^{2} = 75^{2} +60^{2} - 2 \ . \ . 75 \ . \ 60 \ . \ cos(134)\° }}$

$\boxed { \bold { c^{2} = 5625 + 3600 - 9000 \ . \ cos(134)\° }}$

$\boxed { \bold { c^{2} = 9225 - 9000 \ . \ cos(134)\° }}$

$\boxed { \bold { c^{2} = 9225 - 9000 \ . \ - 0,694658370548 }}$

$\boxed { \bold { c^{2} = 9225\ + \ 6251,92 }}$

$\boxed { \bold { c^{2} = 15476,92 }}$

$\boxed { \bold { \sqrt{ c^{2} } = \sqrt{ 15476,92 } }}$

$\boxed { \bold { c = \sqrt{ 15476,92 } }}$

$\boxed { \bold { c \approx 124,406269 } }}$

$\boxed { \bold { c \approx 124,40 \ metros } }}$      

La distancia entre los dos globos es de ≅ 124,40 metros