Question

Calcular tres números enteros consecutivos tales que su producto sea igual a cinco veces su suma. ayudenme porfaa

Answer 1

Ecuaciones de tercer grado resueltas por el Método de Rufini.

SEA:

• X: El primer número.
• X + 1: El segundo número.
• X + 2: El tercer número.

PLATEAMIENTO: Nos indican que el producto de tres números enteros consecutivos es igual a cinco veces su suma. Por tanto, planteamos:

$\boxed{\boxed{\mathbb{EXPRESIONES}}}\Longrightarrow\quad\begin{matrix} \textbf{El producto de tres} & \textbf{Cinco veces su}\\ \textbf{n\'umeros consecutivos:} & \textbf{suma:}\\ \\x(x+1)(x+2) & 5(x+x+1+x+2)\end{matrix}$

RESOLVIENDO: Ahora igualas las expresiones para armar nuestra ecuación:

                          $x(x+1)(x+2)=5(x+x+1+x+2)\\ \\(x^2+x)(x+2)=5(3x+3)\\ \\x^3+2x^2+x^2+2x=15x+15\\ \\x^3+3x^2+2x=15x+15\\ \\x^3+3x^2+2x-15x-15=0\\ \\x^3+3x^2-13x-15=0\quad\Longrightarrow\textbf{Igualas a cero.}$

Método de Rufini: Tenemos una ecuación cubica de la forma:

ax³ + bx² + cx + d = 0, siendo sus coeficientes:

                                          $\boldsymbol{a}=1\\\boldsymbol{b}=3\\\boldsymbol{c}=-13\\\boldsymbol{d}=-15\to\textbf{T\'ermino independiente (TI).}$

Defines el conjunto de divisores del término independiente (d), en donde:

                                    $P=D_{15}=\{\pm1,\pm3,\pm5,\pm15\}$

Defines el conjunto de divisores del término con mayor exponente (a), en donde:

                                                $q=D_{1}=\{\pm1\}$

Si el término con mayor exponente tiene como coeficiente el número 1, en consecuencia, el conjunto de posibles raices queda así:

                                          $\dfrac{P}{q}=\{\pm1,\pm3,\pm5,\pm15\}$

Ahora armamos una división sintética, en donde evaluas cada posible raíz; en este caso, el número buscado dio como resultado -1:

$\begin{matrix} \textbf{T\'ermino:} &&\hspace{5} \boldsymbol{x^3}&\hspace{5}\boldsymbol{x^2}&\hspace{5}\boldsymbol{x}&\textbf{TI}\\ \textbf{Coeficiente:} && 1&3&-13&-15\\&&&-1&-2&\hspace{7}15 \end{matrix}\begin{vmatrix} \\ \boldsymbol{x_{1}=-1}\to\boxed{\textbf{Primera ra\'iz.}}\\\textbf{===============} \end{matrix}\\\text{------------------------------------------------------}\\\begin{matrix} \textbf{Suma:} &&&&\hspace{9}1&&\hspace{2}2&\hspace{6}-15&&\hspace{1}0\end{matrix}$

Con los resultados de la suma armas una ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0, en donde dichos números serán sus coeficientes:

 $x^2+2x-15=0\quad\to\textbf{Resuelves por factorizaci\'on.}\\ \\(x+5)(x-3)=0\\ \\ \\\boldsymbol{x_{2}}=-5\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{Segunda ra\'iz.}}\\ \\\boldsymbol{x_{3}}=3\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{Tercera ra\'iz}}$

Dado que las tres raíces satisfacen las condiciones del problema y forman parte del conjunto de números enteros, entonces tenemos:

- 1, 0, 1      ====> Primer conjunto de números consecutivos.

- 5, -4, -3  ====> Segundo conjunto de números consecutivos.

 3, 4, 5    ====> Tercer conjunto de números consecutivos.

MUCHA SUERTE...!!

Puedes revisar otro ejemplo en esta tarea:

https://brainly.lat/tarea/11326635

Answer 2

Sea x el primero, x + 1 y x + 2 son los siguientes:

Entonces se debe cumplir que:

x (x + 1) (x + 2) = 5 (x + x + 1 + x + 2) = 5 (3 x + 3) = 15 (x + 1)

Hay una solución inmediata: x = - 1

Es aceptable porque se trata de números enteros.

Los tres números son - 1, 0 y 1

Si x ≠ - 1; dividimos la ecuación por (x + 1)

Queda x (x + 2) = 15

O bien x² + 2 x - 15 = 0; ecuación de segundo grado en x

Sus raíces son x = 3, x = - 5

Por lo tanto otras dos soluciones son:

 3,   4,   5

- 5, - 4, - 3

Verificamos los tres conjuntos.

a) (- 1) (0) 1 = 5 (- 1 + 0 + 1) = 0

b) 3 . 4 . 5 = 5 (3 + 4 + 5) = 60

c) (- 5) (- 4) (- 3) = 5 (- 3 - 4 - 3) = - 60

Saludos.