Hallar el centroide (x ̅,y ̅ ) de la región limitada por la curva y=x^2 y la rectay=x+2.


carolain17: no he recibido respuesta
carolain17: por favor ayudenme

Respuestas

Respuesta dada por: CarlosMath
2
Primero veamos cuáles son las abscisas de los puntos de intersección
                          x^2=x+2\\ \\
x^2-x-2=0\\ \\
(x-2)(x+1)=0\\\\
\boxed{x=-1\vee x=-1}

Segundo hallemos el área de la región
                 \displaystyle
A=\int_{-1}^2x+2-x^2\,dx\\ \\
A=\left.\left(\frac{x^2}{2}+2x-\dfrac{x^3}{3}\right)\right|_{-1}^2\\ \\
A= \left(\frac{2^2}{2}+2(2)-\dfrac{2^3}{3}\right)-\left(\frac{(-1)^2}{2}+2(-1)-\dfrac{(-1)^3}{3}\right)\\ \\
\boxed{A= \dfrac{9}{2}}

Luego hallemos los momentos respecto de los ejes
EJE X
Sección transversal: c(x)=x+2-x^2

\displaystyle
M_x=\int _{-1}^2x\cdot c(x)\, dx\\ \\
M_x=\int _{-1}^2x (x+2-x^2)\, dx\\ \\
M_x=\int _{-1}^2x^2+2x-x^3\, dx\\ \\ \\
\boxed{M_x=\dfrac{9}{4}}

EJE Y
Sección transversal: 
                         c_1(y)=2\sqrt{y} \;,\; y\in [0,1]
                       c_2(y)=\sqrt{y}+2-y\;,\; y\in [1,4]
                      
Entonces

\displaystyle 
M_y=\int_{0}^{4}y\cdot c(y)\,dy=\int_{0}^{1}y\cdot c_1(y)\,dy+\int_{1}^{2}y\cdot c_2(y)\,dy\\ \\ \\
M_y=\int_{0}^{1}2y\sqrt{y}\, dy +\int_{1}^{4}y\sqrt{y}+2y-y^2\,dy\\ \\ \\
\boxed{M_y=\dfrac{36}{5}}


Finalmente los centros de masa

\overline{x}=\dfrac{9/4}{9/2}=\dfrac{1}{2}\\ \\ \\ \overline{y}=\dfrac{36/5}{9/2}=\dfrac{8}{5}



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