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Answer 1

PROGRESIONES  CUADRÁTICAS. Ejercicios.

Te resolveré la primera figura ya que es muy laboriosa.

La segunda se basa en lo mismo, es decir, son progresiones especiales llamadas CUADRÁTICAS  (también llamadas "de segundo orden").

Y se llaman así porque el término general común a todas ellas es similar a la forma de una ecuación de segundo grado, mira:

$a_n=an^2+bn+c$

Son algo engorrosas, la verdad.

Y la pregunta del millón:  ¿Por qué sé que es una progresión cuadrática?

Pues porque hay que fijarse en los primeros números que aparecen a la izquierda de cada fila y que son: 1, 2, 4, 7 ... el siguiente que aparecería en la quinta fila sería el 11, verdad?

Pues hay que basarse en esa secuencia que puede entenderse como "una progresión dentro de otra progresión".

Te explico:  miremos las diferencias entre términos consecutivos.

• 2 - 1 = 1
• 4 - 2 = 2
• 7 - 3 = 3
• 11 - 7 = 4 ... notas algo en esto???

Sencillamente vemos que la diferencia entre términos va aumentando de uno en uno de manera que las cantidades resultantes forman otra progresión que entra dentro de las aritméticas (1, ,2, 3, 4 ...) ok?

Entrando pues a representar de forma comprensible esta progresión diré que tengo varias tareas del mismo estilo resueltas aquí en Brainly, así que para adelantar trabajo copiaré parte del texto de una de ellas. Son tareas mías y no son copia de otro usuario.  

Al final está el link de la citada tarea.

Según lo explicado, los siguientes números se obtienen fijándose en la forma en que aumenta cada término respecto del anterior. 

Términos

de la progresión:       1º              2º             3º            4º

Progresión inicial:       1                2              4              7 ... etc

Diferencia 1:                       +1               +2            +3         ⇒ (primer orden)

Diferencia 2:                              +1                +1          ⇒ (segundo orden)

Ahí se puede observar que la diferencia entre términos es creciente en el primer orden. Eso sería en la "diferencia 1"

En el segundo orden (diferencia 2)  es donde nos encontramos una sucesión aritmética normal donde siempre se cumple que existe una diferencia de una unidad entre dos términos consecutivos,  

1 + 1 = 2

2 + 1 = 3

... etc...

Lo que resulta algo más engorroso de obtener es la regla (o fórmula) que nos permita saber el valor de cualquier término de esa sucesión simplemente conociendo el lugar que ocupa en ella. Eso es lo primero que hemos de calcular para luego obtener la suma de términos que nos pide.

El término general  (o enésimo, aₙ) tendrá esta forma:  $a_n=an^2+bn+c$  tal y como he explicado arriba.

Para llegar a conocer el término enésimo aₙ de esta sucesión hemos de saber el valor de los coeficientes (a, b, c) y eso se consigue usando unas expresiones que determinan esos valores a partir de los primeros dígitos del desarrollo de la sucesión escrita arriba y que he remarcado en negrita.

Para conocer el valor de los coeficientes se hace esto:

1º término de progresión inicial = 1 ... lo llamo C

Diferencia 1 = ---------------+1 ...  lo llamo B

Diferencia 2 = ---------------+1 ...  lo llamo A

En este caso los tres términos citados tienen el mismo valor con lo cual la solución se simplifica bastante pero igualmente sigo el procedimiento hasta el final.

Ahora hay que acudir a esta expresión:

$a_n=\dfrac{A}{2} *n^2+(B-\dfrac{3}{2} *A)*n+(A-B+C)$

Es una fórmula que hay que memorizar para poder resolver este tipo de sucesiones.

Sustituiré las letras A,B,C, por los valores especificados y en cuanto reduzca términos semejantes habré obtenido la regla o fórmula del término n-ésimo.

$a_n=\dfrac{1}{2} *n^2+(1-\dfrac{3}{2} *1)*n+(1-1+1) \\ \\ \\ a_n=\dfrac{n^2}{2} -\dfrac{n}{2} +1\\ \\ \\ \boxed{a_n=\dfrac{n^2-n}{2} +1}$

Aquí nos queda el término general de esta progresión especial y lo que queda por hacer es calcular el valor término nº 20 que corresponde al primer número de la izquierda de la fila nº 20, así que sustituimos "n" por ese nº 20

$a_n=\dfrac{20^2-20}{2} +1\ =\ \dfrac{380}{2} +1\ =\ 191$

Volviendo a mirar el dibujo, en la fila nº 20 habrá 20 números para sumar ya que puedes ver que cada fila tiene la cantidad de números igual al nº de orden en sentido descendente. Es decir:

• En la 1ª fila, 1 número
• En la 2ª fila, 2 números
• En la 3ª fila, 3 números... etc...

Así pues, en la fila nº 20 habrá 20 números a partir de...

191, 192, 193 ... ... 208, 209 210  

Esto es otra progresión pero aritmética, mucho más sencilla de resolver ya que tenemos:

• valor del 1º término = 191
• valor del 20º término = 210
• nº de términos = 20

Así que aplico la fórmula de suma de términos de una progresión aritmética:

$S_{n} =\dfrac{(a_1+a_n)*n}{2} \\ \\ \\ S_{20} =\dfrac{(191+210)*20}{2} =4010$

La respuesta es 4.010

Ver ejercicio similar en: https://brainly.lat/tarea/7661759