Question

1. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación:
4X2 + 4Y2 + 4X + 4Y – 2 = 0
2. Analizar la ecuación canónica de la elipse y determinar las coordenadas del centro, vértice y las longitudes de los ejes mayor y menor.

3. Encuentre los elementos de la parábola dada por la ecuación: (y - 2)2 = - (x - 4)

Answer 1

1) El centro de la circunferencia está en (-1/2,-1/2) y su radio es 1.

2) El centro de la elipse está en (-5,3), sus ejes mayor y menor son 20 y 18 respectivamente y los vértices están en (-5,-7) y (-5,13).

3) La parábola tiene el eje en y=2, su recta directriz es x=17/4, su vértice está en (4,2) y su foco en (15/4,2)

Explicación paso a paso:

1) Para hallar el centro y radio de la circunferencia podemos pasar a la ecuación canónica, para lo cual completamos los trinomios cuadrados perfectos:

$4x^2+4y^2+4x+4y-2=0\\\\x^2+y^2+x+y=\frac{1}{2}\\\\(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\\\\x^2-2xx_0+x_0^2+y^2-2yy_0+y_0^2=r^2$

De aquí podemos deducir:

$-2x_0x=1=>x_0=-\frac{1}{2}\\\\-2y_0y=1=>y_0=-\frac{1}{2}$

$r^2-y_0^2-x_0^2=\frac{1}{2}\\\\r^2=\frac{1}{2}+y_0^2+x_0^2\\\\r^2=\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})^2+(-\frac{1}{2})^2=1$

Entonces el centro de la circunferencia está en (-1/2,-1/2) y el radio es 1.

2) La ecuación canónica de la elipse consiste en dos términos cuadráticos de la forma:

$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$

La ecuación planteada es la de la imagen adjunta.

Aquí los términos x0 e y0 son las coordenadas del centro, por lo que en este caso el centro está en (-5,3). Los dos denominadores son los cuadrados de los semiejes, por lo que estos son a=9 y b=10. Entonces el eje mayor mide 20 y el eje menor 18.

En cuanto a los vértices, el semieje mayor es en la dirección del eje 'y' por lo que es una "elipse vertical". Los vértices están en la recta del eje mayor que es x=-5. Por lo tanto los hallamos haciendo x=-5 en la ecuación:

$\frac{(-5+5)^2}{81}+\frac{(y-3)^2}{100}=1\\\\(y-3)^2=100\\\\|y-3|=10=>y=13 \vee y=-7$

Los vértices quedan en (-5,13) y (-5,-7)

3) En una parábola tenemos como elementos el vértice, el foco, el eje y la recta directriz. Si la ecuación es:

$(y-2)^2=-(x-4)$

Su vértice está en (4,2) y al ser el término que contiene a 'y' el que está elevado al cuadrado, su eje es horizontal y es la recta y=2. La ecuación la reescribimos como:

$(y-2)^2=4p(x-4)$

Y el foco está en (p+4,2), resta encontrar el valor p:

$4p=-1\\\\p=-\frac{1}{4}$

Quedando el foco en (15/4,2), la distancia entre el vértice y el foco es la misma que entre el vértice y la recta directriz, por lo que si el foco está a 1/4 del vértice a la izquierda, la recta directriz está 1/4 a la derecha del vértice y como es perpendicular al eje es x=4+1/4=17/4.