Question

determinar para cada funcion los limites laterales indicados
f(x) = 3x+8

lim
x→2 f(x)

Answer 1

$L=\lim\limits _{x\to 2} 3x+8$

Para calcular este límite, notemos que 3x + 8 es un binomio que está definido para cualquier x número real, además todo polinomio es continuo, por eso

                   $\lim\limits _{x\to 2} 3x+8 = 3(2)+8=14$

Para demostrar que este es el límite aplicaremos su definición
$\forall \varepsilon \ \textgreater \ 0\, \exists \delta \ \textgreater \ 0: |x-2|\ \textless \ \delta\Longrightarrow |14-(3x+8)|\ \textless \ \varepsilon\\ \\ \text{O sea}:\\\\ \forall \varepsilon \ \textgreater \ 0\, \exists \delta \ \textgreater \ 0: |x-2|\ \textless \ \delta\Longrightarrow |6-3x|\ \textless \ \varepsilon$


Ya que $\varepsilon$ es cualquier número, a partir de $|6-3x|\ \textless \ \varepsilon$ buscaremos un $\delta$ que dependa de $\varepsilon$

$|6-3x|\ \textless \ \varepsilon\\ \\ 3|2-x|\ \textless \ \varepsilon\\ \\ |x-2|\ \textless \ \dfrac{\varepsilon}{3}$

Entonces existe tal $\delta =\dfrac{\varepsilon}{3}$ y con eso se demuestra que el binomio tiene ese límite y es continuo en x = 2, es decir que tiene sus límites laterales iguales.