Question

La profesora Liz lleva en una urna 14 esferas, de las cuales 8 son de color amarillo y el resto es de color rojo. Uno de los estudiantes del tercer grado extrae sin ver dos esferas, una por una. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas esferas sean de color amarillo?

Answer 1

La probabilidad de que ambas esferas sean de color amarillo es de 4/13 o bien en porcentaje 30.77%.

Se trata de un problema de probabilidad sin reemplazo donde un suceso depende del otro. Nota que si extraemos una esfera, para la segunda extracción no van a quedar la misma cantidad de esferas en la urna, por lo que hablamos de dos sucesos dependientes.

Definamos los eventos:

• Evento A: Un estudiante extrae sin ver una esfera amarilla.
• Evento B: El mismo estudiante extrae sin ver otra esfera amarilla:

La probabilidad de que ocurran los dos eventos dependientes (A ∩ B) está dada por:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)

Donde:

• P(A) es la probabilidad del evento A, es decir, de que un estudiante extraiga una esfera amarilla
• P(B|A) es la probabilidad de que, dado que el estudiante extrajo una bola amarilla, vuelva a extraer una bola amarilla.

Calculemos las probabilidades:

Evento A

Tenemos un espacio muestral de n(Ω)=14 bolas, y de ellas n(A)=8 son amarillas, por tanto, usando la regla de Laplace:

$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{8}{14}=\dfrac{4}{7}$

Evento B|A

Dado que el estudiante extrajo una bola amarilla, entonces quedarán en la urna n(Ω)=  13 bolas, y de ellas n(B|A)=7 son amarillas, por tanto:

$P(B|A)=\dfrac{n(B|A)}{n(\Omega)}=\dfrac{7}{13}$

Finalmente la probabilidad de que ambas esferas extraídas sean de color amarillo será:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)\\\\P(A\cap B)=\dfrac{4}{7}\cdot \dfrac{7}{13} \\\\\boxed{P(A\cap B)=\dfrac{4}{13}\approx0.3077}$

Expresado en porcentaje será:

$P(A\cap B)_{\%}=0.3077\cdot100\% = 30.77\;\%$

R/ La probabilidad de que ambas esferas sean de color amarillo es de 4/13 o bien en porcentaje 30.77%.

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EXTRA:

¿Cuál es la probabilidad de que al extraer dos  esferas, una por una sin reposición, ambas sean de  color rojo?

Procedemos de igual manera:

Definamos dos eventos:

• Evento A: Un estudiante extrae sin ver una esfera roja.
• Evento B: El mismo estudiante extrae sin ver otra esfera roja:

Evento A

Tenemos un espacio muestral de n(Ω)=14 bolas, y de ellas n(A)=6 son rojas, por tanto, usando la regla de Laplace:

$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{6}{14}=\dfrac{3}{7}$

Evento B|A

Dado que el estudiante extrajo una bola roja, entonces quedarán en la urna n(Ω)=  13 bolas, y de ellas n(B|A)=5 son rojas, por tanto:

$P(B|A)=\dfrac{n(B|A)}{n(\Omega)}=\dfrac{5}{13}$

Finalmente la probabilidad de que ambas esferas extraídas sean de color rojo será:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)\\\\P(A\cap B)=\dfrac{3}{7}\cdot \dfrac{5}{13} \\\\\boxed{P(A\cap B)=\dfrac{15}{91}\approx0.1648}$

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Answer 2

La probabilidad de que ambas esferas extraídas por el estudiante de la profesora Liz sean de color amarillo es del 30,77%

• Al extraer la primera esfera la probabilidad:

Casos favorables: 8 (hay 8 esferas de color amarillo en la urna)

Casos posibles: 14 (hay un total de 14 esferas en la urna)

Probabilidad = (8 / 14 ) x 100 = 57,1428 %.

• Y al extraer la segunda esfera la probabilidad:

Casos favorables: 7 (hay 7 esferas de color amarillo en la urna)

Casos posibles: 13 (hay un total de 13 esferas en la urna)

Probabilidad = (7 / 13 ) x 100 = 53,8461 %

Concluimos que es una probabilidad doble, es decir, se multiplican ambas probabilidades:

Probabilidad = 8/14 * 7/13 *100

Probabilidad  = 30,76923%

Probabilidad  ≈ 30,77%

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