Question

1. Un ingeniero, para medir la altura de una montaña, realiza dos observaciones a la parte más alta con la ayuda de un teodolito que está a 1,7 metros de altura respecto al nivel del suelo. Desde un primer punto, observa la parte más alta con un ángulo de elevación de 37°. Luego, camina 105 metros en línea recta hacia la base de la montaña y desde este nuevo punto, a igual altura que la anterior, lo observa con un ángulo de elevación de 53°. A partir de la situación, responde: ¿Cuál es la altura de la montaña?

Answer 1

La altura de la montaña es de 184,28 metros.

Datos:

Altura del Teodolito = 1,7 metros

Distancia entre las dos mediciones = 105 metros

Ángulo 1 = 37°

Ángulo 2 = 53°

Para mejor comprensión, análisis y solución del problema se plantea el diagrama de la figura anexa. (ver imagen)

Se forma imaginariamente un primer triángulo rectángulo entre la cima de la montaña, el teodolito en la posición original y la horizontal; cuya hipotenusa es “A”.

A² = (y2)² + (x + 105 m)²

Se forma imaginariamente un segundo triángulo rectángulo entre la cima de la montaña, el teodolito movido 105 metros hacia la base de la montaña y la horizontal; cuya hipotenusa es “B”.

B² = (y2)² + (x)²

Por teoría se conoce que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°.

180° = 90° + 37° + ∡1

∡1 = 180° – 90° – 37°

∡1 = 53°

180° = 90° + 53° + ∡2

∡2 = 180° – 90° – 53°

∡2 = 37°

Planteando la Ley de los Senos para el primer triángulo.

A/Sen 90° = y2/Sen 37° = (x + 105)/Sen 53°

y2 = (x + 105)(Sen 37°/Sen 53°)

Se plantea la Ley de los Senos para el segundo triángulo.

B/Sen 90° = y2/Sen 53° = x/Sen 37°

Nota: Sen 90° = 1

y2 = x(Sen 53°/Sen 37°)

Se igualan ambas ecuaciones.

(x + 105)(Sen 37°/Sen 53°) = x(Sen 53°/Sen 37°)

(x + 105)(0,7536) = x(1,33)

0,7536x + 79,128= 1,33x

1,33x – 0,7536x = 79,128

0,5764x = 79,128

X = 79,128/0,5764

X = 137,28 metros

Con este dato se calcula y2.

y2 = (137,28 m)(Sen 53°/Sen 37°)

y2 = 182,58 metros

Ahora bien, la altura de la montaña se obtiene sumando a este valor la altura del teodolito.

Altura de la montaña (h) = y1 + y2

Altura de la montaña (h) = 1,7 m + 182,58 m

Altura de la montaña (h) = 184,28 m

Answer 2

Respuesta:

181,7m

Explicación paso a paso:

105+3y=4x

       4y=3x

105+3y-4x=0

       4y-3x=0

105+3y-4x=4y-3x

105-4x+3x=4y-3y

105-x=y

3x=4y

3x=4(105-x)

3x=420-4x

4x+3x=420

7x=420

''x=60''

y=105-x

y=105-60

y=45

Altura de la montaña=3x+1,7=4y+1,7

                                  =3(60)+1,7=4(45)+1,7

                                  =180+1,7=180+1,7

                                  =181,7m=181,7