Question

En una universidad se va a construir el auditorio, qué es un hexágono de 50 m de lado. ¿ cuántas butacas se podrán poner si hay que reservar un área entre corredores y estrado de 400 m² y cada butaca ocupa un área de 2.5 m² ?​

Answer 1

Se podrán poner 2398 butacas en el auditorio

Procedimiento:

Si el auditorio que se piensa construir es un hexágono de 50 metros de lado, nos estamos refiriendo a un hexágono regular

Hallando el área del auditorio hexagonal

El área de un hexágono regular se calcula como la mitad del producto del perímetro y la apotema, empleando la fórmula del área del polígono regular.

Como el hexágono es una figura de seis lados, su perímetro es seis veces la longitud de uno de sus lados,

La fórmula para calcular él área de un hexágono regular es la siguiente

$\boxed {\bold { \'Area \ Hex\'agono \ Regular = 3 \ . \ Lado \ . \ apotema}}$

Conocemos el valor del lado pero no su apotema

Por lo tanto deberemos calcularla

La apotema de un polígono regular es la distancia desde cualquiera de sus lados al centro del polígono.

Se calcula mediante la mitad de la tangente del ángulo central y el valor del lado

Como tenemos un hexágono su ángulo central es de 60°, por lo tanto podemos expresar

$\boxed {\bold { Apotema = \frac{Lado}{ 2 \ . \ tan(30)\°} }}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold { Apotema = \frac{ 50 \ metros } { 2 \ . \ 0,577735} }}$

$\boxed {\bold { Apotema = \frac{ 50 \ metros } { 1,1547} }}$

$\boxed {\bold { Apotema = 43,30 \ metros }}$

El apotema mide 43,30 metros

Ya podemos calcular el área total del auditorio hexagonal

$\boxed {\bold { \'Area \ Hex\'agono \ Regular = 3 \ . \ Lado \ . \ apotema}}$

$\boxed {\bold { \'Area \ Total\ Hex\'agono \ Regular= 3 \ . \ Lado \ . \ apotema}}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold { \'Area \ Total\ Hex\'agono \ Regular= 3 \ .\ 50 \ metros \ . \ 43,30 \ metros}}$

$\boxed {\bold { \'Area \ Total\ Hex\'agono \ Regular= 6495 \ metros^{2} }}$

El área total del auditorio es de 6485 metros cuadrados

Hallando el área destinada a las butacas

Para ello debemos restar del área total del auditorio - que hallamos en el paso anterior - el área que se reserva para corredores y estrado

$\boxed {\bold { \'Area \ Total\ Hex\'agono - \'Area \ Corredores \ y \ Estrado }}$

Reemplazamos valores

$\boxed {\bold { \'Area \ Butacas= 6495\ metros^{2} - 500 \ metros^{2} }}$

$\boxed {\bold { \'Area \ Butacas= 5995\ metros^{2} }}$

El área destinada a las butacas es de 5995 metros cuadrados

Hallando cuantas butacas se podrán poner

Cada butaca ocupa un área de 2,5 metros cuadrados

Para hallar la cantidad de butacas que se podrán colocar en el auditorio dividimos el área destinada a las butacas entre el área de una butaca

Esa operación nos dará el número de butacas que se podrán poner en el auditorio

$\boxed { \bold { Cantidad \ de \ Butacas = 5995 \ metros^{2} \div 2,5 \ metros^{2} }}$

$\boxed { \bold { Cantidad \ de \ Butacas = 2398 }}$

Se podrán colocar 2398 butacas