Dos barcos son observados desde lo alto de un faro en la misma dirección. El barco más cercano se observa con un ángulo de depresión β y el otro con un ángulo de depresión de 37°. Si la altura del faro es de 50 m, ambos botes están separados por 40 m y el faro está a 22 m sobre el nivel del mar. Determine el valor de tan β. APRENDO EN CASA SEMANA 15 MATEMÁTICA 5TO GRADO SECU
Respuestas
TRIGONOMETRÍA. Ejercicios de aplicación.
Miremos primero el dibujo que aclara bastante la situación.
He dibujado dos líneas horizontales y por tanto paralelas entre sí (P1 y P2) donde P1 representa la línea del nivel del mar y P2 es de referencia para dibujar los ángulos.
Debemos conocer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos paralelas cruzadas por una secante que es lo que tenemos ahí. En nuestro caso las secantes son las dos líneas que unen el punto de salida de la luz del faro con ambos barcos, ok?
El ángulo de depresión que nos dice el ejercicio, en este caso se entiende que son los formados en la parte superior, donde sale la luz del faro.
Una de las relaciones entre paralelas cortadas por secante es la de que los ángulos alternos internos son iguales y es lo que he plasmado ahí ya que el ángulo "beta" superior tiene su homólogo en la parte inferior como alterno interno y lo mismo ocurre con el ángulo de 37º.
También pueden apreciarse los dos triángulos rectángulos que se forman:
ABE y CBE.
El objetivo es conseguir el valor del cateto CE (al que he anotado la medida desconocida de "x" metros) para, a continuación, aplicar la fórmula de la función tangente que relaciona los dos catetos de cualquier triángulo rectángulo.
Para ello nos apoyamos en el triángulo mayor ABE donde sabemos el ángulo de 37º al cual le calculamos la tangente con la calculadora o bien tablas trigonométricas si no se dispone de calculadora científica.
Me dice que: tan 37º = 0,753
Y sabemos el cateto opuesto que es la suma de la altitud desde donde nace el faro (22 m.) y su propia altura (50 m.) que totalizan 72 m.
El cateto adyacente al ángulo de 37º mide "40+x" metros.
Aplico la fórmula:
Conocido ese valor ya podemos volver a aplicar la fórmula de la tangente pero en esta ocasión sobre el ángulo "beta".
Saludos.
El valor de β que resuelve la situación planteada es 52,35°
En la imagen adjunta podemos ver un bosquejo de la situación primero encontraremos el valor de "x" para esto usaremos propiedades trigonométricas en el triángulo más grande:
tan(a) = cateto opuesto/cateto adyacente
tan(37°) = (50 m + 22m) /(40m + x)
40m + x = 72m/tan(37°)
x = 95,55 m- 40m
x = 55,55m
Luego usando el triángulo más pequeño usaremos propiedades trigonométricas para encontrar el valor de β
tan(β) = cateto opuesto/cateto adyacente
tan(β) = (50 + 22 m)/x = 72 m/55,55 m
β = arcotan(72/55,55)
β = 52,35°
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