Question

De una altura de un faro se ve un bote en el mar, con un ángulo de depresión de 60°, si dicho faro tiene una altura de 20m ¿a qué distancia se ubica el bote con respecto al pié del faro?

Answer 1

La distancia del bote al pie del faro es expresada en forma exacta de:

$\boxed{\bold { \frac{ 20 \ \sqrt{3} }{ 3 } \ metros } }$

Expresada en forma decimal es de aproximadamente 11,547 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 30-60 (por sus ángulos)

• Este triángulo tiene un ángulo de 30° y otro de 60°, donde el lado opuesto al ángulo de 30° medirá 1k y el lado opuesto al ángulo de 60° medirá k√3 y la hipotenusa medirá 2k (o el doble de lo que mida el primer lado)

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo  y resolución del ejercicio.

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC  el cual está conformado por el lado AB que equivale a la altura del faro, el lado BC que representa la distancia del bote al pie del faro y el lado AC que es la proyección visual con un ángulo de depresión de 60°

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se traslada el ángulo de 60° al punto C para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales

Solución

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos

• Altura del faro = 20 metros

• Ángulo de depresión = 60°

• Debemos hallar la distancia del bote al pie del faro

Relacionamos estos datos con la tangente del ángulo

Como tenemos un triángulo notable

$\boxed{\bold { tan(60)\° = \sqrt{3} }}$

$\boxed{\bold { tan(60)\° = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } = \frac{AB}{BC} } }$

$\boxed{\bold { tan(60)\° = \frac{ altura \ del\ faro }{ distancia\ al\ bote } = \frac{AB}{BC} } }$

$\boxed{\bold { distancia\ al\ bote = \frac{ altura \ del\ faro }{ tan(60)\° } } }$

$\boxed{\bold { distancia\ al\ bote = \frac{ 20 \ metros }{ tan(60)\° } } }$

$\boxed{\bold { distancia\ al\ bote = \frac{ 20 \ metros }{ \sqrt{3} } } }$

Operamos para quitar la raíz del denominador

$\boxed{\bold { distancia\ al\ bote = \frac{ 20 \ metros }{ \sqrt{3} }\ .\ \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } } }$

$\boxed{\bold { distancia\ al\ bote = \frac{ 20 \ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} \ \sqrt{3} }\ } }$

$\boxed{\bold { distancia\ al\ bote = \frac{ 20 \ \sqrt{3} }{ \sqrt{3}^{2} }\ } }$

$\boxed{\bold { distancia\ al\ bote = \frac{ 20 \ \sqrt{3} }{ 3 } \ metros } }$

La distancia del bote al pie del faro es de  $\bold{ {\frac{20 \sqrt{3} }{3} }}}$ metros

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La altura del faro es de 20 metros

Y es el lado opuesto al ángulo de 60° por lo tanto mide k√3

Planteamos

$\boxed{\bold {altura\ del \ faro =20 \ metros = k \sqrt{3} }}$

Despejamos a la constante k

$\boxed{\bold { k \sqrt{3} = 20 \ metros }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 20 \ metros }{\sqrt{3} } }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 20 }{\sqrt{3} } }}$

El valor de la constante k es 20/√3

La distancia del bote al pie del faro es el lado adyacente al ángulo de 60°

Y al ser el lado adyacente al ángulo notable de 60° medirá 1k

Planteamos

$\boxed{\bold { distancia\ al\ bote = 1k} } }$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\boxed{\bold { distancia\ al\ bote = 1 \ . \ \frac{ 20 }{\sqrt{3} } } }$

$\boxed{\bold { distancia\ al\ bote = \frac{ 20 }{\sqrt{3} } } }$

Donde efectuamos las mismas operaciones que hicimos antes para quitar el radical del denominador

Obteniendo

$\boxed{\bold { distancia\ al\ bote = \frac{ 20 \ \sqrt{3} }{ 3 } \ metros } }$