Question

1. Determine si el conjunto dado es un espacio vectorial.
A. El conjunto de matrices de la forma
A=[0 a ;b 1]
Donde a, b son escalares, bajo la suma y multiplicacion usual de matrices.

Answer 1

Bueno, la multiplicación de matrices no es operación necesaria para configurar el espacio vectorial. En cuanto a si las matrices dadas son un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales, lo más cómodo, en general, es partir del espacio de matrices cuadradas y comprobar que A es subespacio vectorial.

Para ello utilizaremos el teorema de caracterización:

Dado el espacio vectorial sobre el cuerpo K, $H \subset V$ es subespacio de (V, +) sii

                             $\displaystyle\ { \forall x, y \in H \ \forall a, b \in K, ax+by \in H }$

En el caso presente es

$\lambda \left[\begin{array}{ccc}0&a\\b&1\end{array}\right] + \mu \left[\begin{array}{ccc}0&a'\\b'&1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}0&\lambda a+ \mu a'\\\\\lambda b + \mu b'&2\end{array}\right]$

que no pertenece al conjunto, pues tiene un 2 en lugar del 1 que figura en la definición del conjunto.

Luego no es espacio vectorial.

Nota: el procedimiento utilizado es general. En el caso propuesto, en particular, hubiera bastado ver que no es operación interna la suma de matrices del conjunto A.