Question

Encontrar el volumen del solido formado la girar la región acotada por f(x)=2-x^2; y g(x)=1 alrededor de la recta y=1. Sugerencia: Utilice el método de los discos para hallar el volumen del sólido y elabore la gráfica para mayor comprensión del ejercicio.

Answer 1

Aplicaré el siguiente método.
Puesto el eje de rotación es y=1, y la región está acotada entre f y g (fig 1), entonces bajemos toda la gráfica hasta que y = 1, coincida con el eje X (fig 2), es decir restemos 1 a las dos ecuaciones

$f_1(x)=f(x)-1=1-x^2\\ g_1(x)=g(x)=0$

Así la reducimos a calcular el volumen que es generado al rotar el área sombreada de azul (fig 2) al rededor del eje X

Entonces utilizamos la fórmula correspondiente. Antes hallemos los cortes de la parábola $f_1(x)=1-x^2$ con el eje X
                             $1-x^2=0\iff x=-1\vee x=1$
Cálculo del volumen:

$\displaystyle V=\pi \int_{-1}^1 f_1^2(x)\, dx \\ \\ V=\pi \int_{-1}^1 (1-x^2)^2\, dx\\ \\ V=\pi \int_{-1}^1 1-2x^2+x^4 \, dx\\ \\ V=\pi \left.\left(x-\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}\right)\right|_{-1}^1\\ \\ \\ \boxed{V=\dfrac{16\pi }{15}}$

======================================================
En eso consiste precisamente el método de los discos.