Respuestas
Respuesta:
1Construimos un triángulo cualquiera ABC.
2 Señalamos los puntos medios de los lados del triángulo. Usamos para ello la mediatriz de cada lado.
3 Trazamos las medianas del triángulo. El baricentro es el punto G donde intersectan las medianas del triángulo.
Explicación paso a paso:
Comenzamos la serie de artículos dedicados a los centros del triángulo con la presentación de los que posiblemente sean los más conocidos para todos, ya que se definen de manera muy sencilla y se estudian en niveles relativamente bajos de nuestra vida académica. Vamos con ellos.
Incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus lados es la misma (el radio de dicha circunferencia). Más concretamente, es el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de los ángulos del triángulo (siendo una bisectriz la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales), por lo que para representarlo gráficamente debemos dibujar las tres bisectrices y localizar el punto de intersección de las mismas.
Incentro
Baricentro
El baricentro (también llamado centroide) de un triángulo es el punto de intersección de las medianas de dicho triángulo (siendo una mediana el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Por ello, para representar gráficamente el baricentro debemos dibujar las tres medianas y localizar el punto en el que se cortan. Esta figura muestra el baricentro de un triángulo:
Baricentro
Circuncentro
El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma (el radio de dicha circunferencia). En concreto, es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo (siendo una mediatriz la recta perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del mismo). Por tanto, para representar gráficamente el circuncentro dibujamos las tres mediatrices y localizamos el punto de intersección de las mismas. Puede verse el circuncentro de un triángulo en la siguiente imagen:
Circuncentro
Ortocentro
El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice). Entonces para representar gráficamente el ortocentro de un triángulo dibujamos las tres alturas y nos quedamos con el punto en el que se intersecan. En esta figura puede verse el ortocentro de un triángulo:
Ortocentro
En la entrada de presentación de esta serie de artículos comenté que intentaría en la medida de lo posible ilustrar cada uno de ellos con algo de GeoGebra. Como lo prometido es deuda, ahí va un applet de GeoGebra en el que se aparecen los cuatro puntos descritos. En él podéis ver cada uno de ellos por separado o varios de ellos a la vez y jugar con el tamaño y la forma del triángulo moviendo los vértices del mismo, además de una sorpresa:
Bueno, en realidad la sorpresa seguro que no es desconocida para muchos de vosotros, ya que corresponde con la línea de Euler que ya vimos hace un tiempo gracias a nuestro gran colaborador fede. Aunque en cierto modo sí es sorprendente que haya una recta a la que pertenezcan el baricentro, el circuncentro y el ortocentro de cualquier triángulo, ¿no os parece?