Question

Encontrar el producto máximo de dos números tal que la suma del triple del primer número y la quinta parte del segundo es 720

Answer 1

Respuesta a tu pregunta sobre el tema Máximos y Mínimos es:

El número menor es ⇒ 120 y el mayor ⇒ 1800

Explicación paso a paso:

Comenzemos estableciendo las ecuaciones, para ello al primer número lo llamaremos "x" y al segundo "y". De acuerdo al enunciado:

"producto máximo de dos números"

$x*y=Max$     Ec.1

y "la suma del triple del primer número y la quinta parte del segundo es 720"

$3x+\frac{1}{5}y=720$   Ec.2

De aquí despejaremos y (también podría ser la x):

$\frac{1}{5}y=720-3x\\y=(720-3x)*5\\y=3600-15x$     Ec.3

Ahora, esta ecuación la sustituiremos en la ec.1

$x*(3600-15x)=Max\\3600x-15x^2=Max$    Ec.4

Sobre esta ecuación aplicaremos el criterio de "máximos y mínimos"

el cual nos dice que si f y f' son derivables en x, x es un máximo si se cumple que f''(x) < 0.  

Para obtenerlo derivamos la ec.4 y hallamos sus raíces:

$f(x)=3600x-15x^2\\f'(x)=3600-30x=0$

$3600-30x=0\\-30x=-3600\\x=\frac{-3600}{-30} \\x=120$

Ahora, derivamos nuevamente

$f''(x)=-30$

y vemos que se cumple la condición  f''(x) < 0 por lo tanto, 120 si es un máximo. Solo resta encontrar el valor de y, para ello podemos sustituir en la ec.3

$y=3600-15(120)\\y=1800$

con esto encontramos los dos números que estábamos buscando