Respuestas
Respuesta:Problema 1.
Se tienen los vectores ~a = (3, −1), ~b = (−2, −2), ~c = (−3, −1). Se le pide calcular:
1. ~a −~b
2. ~b − ~a
3. ~a + ~c
Soluci´on:
~a −~b = (3, −1) − (−2, −2) = (5, 1)
~b − ~a = (−2, −2) − (3, −1) = (−5, −1)
~a + ~c = (3, −1) + (−3, −1) = (0, −2)
Problema 2.
Sabiendo que cos(a) =
1
4
y que 270◦ < a < 360◦
calcule las dem´as razones trigonom´etricas.
Soluci´on:
2
Imediatamente podemos calcular la secante, esta viene dada por el rec´ıproco del coseno
sec(a) = 4
De la ecuaci´on sin2
(a) + cos2
(a) = 1 despejamos el valor de sin(a)
sin(a) = −
s
1 −
1
2
4
2
= −
√
15
4
Notamos que cos(a) es positivo y sin(a) es negativo porque nos ubicamos en el cuarto cuadrante.
Luego, el rec´ıproco del seno corresponde a la cosecante
cosec(a) = −
4
√
15
= −
4
√
15
15
Y la tangente es el cuociente entre el seno y el coseno
tan(a) = −
√
15
4
1
4
= −
√
15
Y la cotangente es el rec´ıproco de la tangente
cot(a) = −
1
√
15
= −
√
15
15
Problema 3.
Exprese el vector ~m = (1, 2, 3) como una combinaci´on lineal de ~u = (1, 0, 1), ~v = (1, 1, 0) y ~w = (0, 1, 1).
Soluci´on:
(1, 2, 3) = x(1, 0, 1) + y(1, 1, 0) + z(0, 1, 1)
(1, 2, 3) = (x + y, y + z, x + z)
Nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y = 1
y + z = 2
x + z = 3
Resolviendo llegamos a:
x = 1, y = 0, z = 2
Finalmente,
~m = ~u + 2 ~w
3
Problema 4.
Ju´an y Pedro ven desde las puertas de sus casa una torre, bajo ´angulos de 45◦ y 60◦
. La distancia entre sus
casas es de 126 m y la torre est´a situada entre sus casas. Halla la altura de la torre.
Soluci´on:
Para resolver el problema hacemos un dibujo con los datos, en donde h es la altura de la torre y x es la distancia
de uno de los observadores al pie de la torre.
Notamos que al trazar la altura de la torre se forman dos tri´angulos rect´angulos.
Planteamos las siguientes ecuaciones:
tg(45◦
) =
h
126 − x
−→ h = (126 − x) tg(45◦
)
tg(60◦
) =
h
x
−→ h = x tg(60◦
)
Tenemos dos ecuaciones y dos inc´ognitas. Se resuelve y se obtiene:
x = 46, 15m
h = 79, 83m
Problema 5.
Sean los puntos P = (0, 2) y Q = (−3, 5). Encuentre el vector que va de P a Q y el vector que va de Q a P.
Soluci´on:
El vector que va de P a Q es
−−→P Q y se calcula como:
−−→P Q = Q − P = (−3 − 0, 5 − 2) = (−3, 3)
4
El vector que va de Q a P es −−→QP y se calcula como:
−−→QP = P − Q = (0 + 3, 2 − 5) = (3, −3)
Problema 6.
Convierta los siguientes valores de radianes a grados sexagesimales
1) 3 rad
2)
2π
5
rad
3)
3π
10
rad
Soluci´on:
Tenemos que entender que π rad=180◦
, con esto utilizamos la regla de tres para calcular el valor equivalente α
en grados sexagesimales
5
1) 3 rad
π
3
=
180◦
α
−→ α = 171, 877◦
2)
2π
5
rad
2π
5
=
2 × 180◦
5
−→ α = 72◦
3)
3π
10
rad
3π
10
=
3 × 180◦
10
−→ α = 54◦
Problema 7.
Demuestre que los vectores ~u = (1, 0, 1), ~v = (1, 1, 0) y ~w = (0, 1, 1) son linealmente independientes.
Soluci´on:
Para demostrar lo pedido planteamos la siguiente ecuaci´on:
(0, 0, 0) = a(1, 0, 1) + b(1, 1, 0) + c(0, 1, 1)
Nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:
a + b = 0
b + c = 0
a + c = 0
La ´unica soluci´on que existe es la trivial:
a = 0, b = 0, c = 0
Por lo tanto, los vectores son linealmente independientes.
Problema 8.
El ancho de una arco de f´utbol es de 4 m y su altura 2,4 m. Para lanzar un penal la pelota se sit´ua a 10,8 m
de la porter´ıa y a igual distancia de los postes.
a) Calcule el ´angulo m´aximo de elevaci´on que puede llevar la pelota para que pase por debajo del larguero.
b) Calcule el ´angulo m´aximo barrido horizontalmente para poder meter gol (la pelota pasa entre los postes).
Soluci´on:
a) La situaci´on puede representarse mediante un tri´angulo rect´angulo en donde BC es la altura del arco y AC
la distancia a la cual se lanza el penal.
6
Lo que se nos pide se traduce en calcular el ´angulo A. Luego,
tg(A) =
BC
AC =
2, 4
10, 8
= 0, 222 −→ A = 12, 53◦
b) Nuevamente podemos representar el problema gr´aficamente, considerando el ancho del arco y el punto A
del cual se lanza el penal.
Se nos pide calcular el ´angulo A. Dividimos el tri´angulo en su mitad por dos tri´angulos rect´angulos iguales.
Luego, la raz´on trigonom´etrica de la tangente nos indica:
tg
A
2
!
=
2
10, 8
−→
A
2
= 10, 49◦ −→ A = 20, 98◦
Problema 9.
Dados los puntos O = (0, 0), P = (−1, 1), A = (3, 3) y B = (2, 4) calcule el vector ~v que va de O a P y el
vector ~w que va de A a B. Explique la relaci´on entr
Explicación: