Calcular la circulación del campo de velocidades de un fluído dado por
![\overset{\to}{F} (x, y, z) = (arctan(x ^2 ), 3x, e^{3z} tan (z)) \overset{\to}{F} (x, y, z) = (arctan(x ^2 ), 3x, e^{3z} tan (z))](https://tex.z-dn.net/?f=%5Coverset%7B%5Cto%7D%7BF%7D+%28x%2C+y%2C+z%29+%3D+%28arctan%28x+%5E2+%29%2C+3x%2C+e%5E%7B3z%7D+tan+%28z%29%29+)
a lo largo de la intersección de la esfera x² + y² + z² = 4
, con el cilindro x² + y² = 1, con z > 0.
Respuestas
Te mando los procedimientos en imágenes adjuntas, algunos símbolos no los tengo aquí.
Fluido dado por
Intersección de la esfera
x² + y² + z² = 4
El cilindro x² + y² = 1, con z > 0.
IMAGEN 1
La circulación de un campo es su integral a lo largo de una línea cerrada. La razón entre la circulación del campo de velocidades y el área de la superficie encerrada por la curva tiende a un cierto valor a medida que el radio de la curva tiende a 0; si este valor es nulo, entonces el fluido es irrotacional y un molinillo ubicado en ese punto límite no rotará.
IMAGEN 2
Por el teorema de Stokes, podemos calcular la integral de línea de F sobre la curva dada como el flujo del rotor a través de la superficie grisada. Parametrizando esta última:
IMAGEN 3
Y hallando el producto vectorial fundamental:
IMAGEN 4
Vemos que esta normal tiene componente z positiva, correspondiendo a una superficie positivamente orientada. con esto podemos calcular:
IMAGEN 5
![](https://es-static.z-dn.net/files/da3/891ac679808d7387ed75e01c5e72d83f.jpg)
![](https://es-static.z-dn.net/files/d41/ece450d62b5ae187326d0b3396bf0b51.jpg)
![](https://es-static.z-dn.net/files/dd8/42dd771c0fe148b825786d2a2c3e855b.jpg)
![](https://es-static.z-dn.net/files/d1a/f78173e61f954ade4fdb46d8fa932d1c.jpg)
![](https://es-static.z-dn.net/files/d84/227852ae662a44a732e71196e2377b0b.jpg)
F→(x,y,z)=(arctan(x2),3x,e3ztan(z))
Intersección de la esfera
x² + y² + z² = 4
El cilindro x² + y² = 1, con z > 0.