Question

Calcular la circulación del campo de velocidades de un fluído dado por
$\overset{\to}{F} (x, y, z) = (arctan(x ^2 ), 3x, e^{3z} tan (z))$
a lo largo de la intersección de la esfera x² + y² + z² = 4
, con el cilindro x² + y² = 1, con z > 0.​

Answer 1

Te mando los procedimientos en imágenes adjuntas, algunos símbolos no los tengo aquí.

Fluido dado por

$\overset{\to}{F} (x, y, z) = (arctan(x ^2 ), 3x, e^{3z} tan (z))$

Intersección de la esfera

x² + y² + z² = 4

El cilindro x² + y² = 1, con z > 0.

IMAGEN 1

La circulación de un campo es su integral a lo largo de una línea cerrada. La razón entre la circulación del campo de velocidades y el área de la superficie encerrada por la curva tiende a un cierto valor a medida que el radio de la curva tiende a 0; si este valor es nulo, entonces el fluido es irrotacional y un molinillo ubicado en ese punto límite no rotará.

IMAGEN 2

Por el teorema de Stokes, podemos calcular la integral de línea de F sobre la curva dada como el flujo del rotor a través de la superficie grisada. Parametrizando esta última:

IMAGEN 3

Y hallando el producto vectorial fundamental:

IMAGEN 4

Vemos que esta normal tiene componente z positiva, correspondiendo a una superficie positivamente orientada. con esto podemos calcular:

IMAGEN 5

Answer 2

F→(x,y,z)=(arctan(x2),3x,e3ztan(z))

Intersección de la esfera

x² + y² + z² = 4

El cilindro x² + y² = 1, con z > 0.