Question

Desde un punto en el suelo se observa la parte mas alta de un arbol con un angulo de elevacion de 30 grados. Calcula la longitud de la linea visual ,si se sabe que la longitud del arbol es de 6m.

Answer 1

La longitud de la línea visual desde la parte más alta del árbol es de 12 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

Es decir en estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Por ejemplo si se tuvieran los lados 1 k y 2 k, se puede decir que el lado 2 k es el doble del lado 1 k, por lo que no es lo que mide un lado sino que es una proporción entre los lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que una vez conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad.  

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 30-60 por sus ángulos

• Este triángulo tiene un ángulo de 30° y otro de 60°, donde el lado opuesto al ángulo de 30° medirá 1k y el lado opuesto al ángulo de 60° medirá k√3 y la hipotenusa medirá 2k (o el doble de lo que mida el primer lado) .En donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Tenemos un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AC que equivale a la longitud del árbol, el lado BC que representa la línea de suelo o plano horizontal y el lado AB es la longitud de la línea visual hasta la parte más alta del árbol con un ángulo de elevación de 30°

Solución:

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos la longitud del árbol y de un ángulo de elevación de 30° con el cual se observa desde un punto en el suelo la parte más alta del árbol

• Longitud del árbol = 6 metros

• Ángulo de elevación = 30° (ángulo notable)

• Debemos hallar la longitud de la línea visual a la cima del árbol

Vamos a relacionar estos datos con el seno del ángulo notable

Recordando que como tenemos un triángulo notable

$\boxed {\bold{ sen (30)\° = \frac{1}{2} }}$

Planteamos

$\boxed {\bold{ sen (30)\° = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } = \frac{AC}{AB} }}$

$\boxed {\bold{ sen (30)\° = \frac{altura \ del \ \'arbol }{ longitud \ linea \ visual } = \frac{AC}{AB} }}$

$\boxed {\bold{ longitud \ l\'inea \ visual \ (AB) = \frac{altura \ del \ \'arbol }{ sen (30)\° } }}$

$\boxed {\bold{ longitud \ l\'inea \ visual \ (AB) = \frac{6\ metros }{ sen (30)\° } }}$

Sí

$\boxed {\bold{ sen (30)\° = \frac{1}{2} }}$

$\boxed {\bold{ longitud \ l\'inea \ visual \ (AB) = \frac{6\ metros }{ \frac{1}{2} } }}$

$\boxed {\bold{ longitud \ l\'inea \ visual \ (AB) = 6\ metros \ . \ \frac{2}{1} } }}$

$\boxed {\bold{ longitud \ l\'inea \ visual \ (AB) = 12 \ metros } }}$

La longitud de la línea visual es de 12 metros

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La altura del árbol es de 6 metros

Y resulta ser el cateto opuesto del ángulo notable de 30°

Por lo tanto al ser el cateto opuesto del ángulo notable  de 30° medirá 1k

Planteamos

$\boxed { \bold { altura \ del \ \'arbol = 6 \ metros = 1k }}$

Donde despejaremos a la constante k

$\boxed { \bold { 1k = 6 \ metros }}$

$\boxed { \bold { k = \frac{ 6 \ metros }{1} }}$

$\boxed { \bold { k = 6}}$

El valor de la constante k es de 6

Al ser este un triángulo notable  30°- 60° la hipotenusa -que equivale a la longitud de la línea visual a la parte más alta del árbol - equivale a 2k. La hipotenusa en un triángulo notable de 30-60 medirá siempre el doble al cateto opuesto al ángulo de 30°

Planteamos

$\boxed {\bold{ longitud \ l\'inea \ visual \ (AB) = 2k } }}$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\boxed {\bold{ longitud \ l\'inea \ visual \ (AB) = 2 \ . \ 6 } }}$

$\boxed {\bold{ longitud \ l\'inea \ visual \ (AB) = 12 \ metros } }}$

La longitud de la línea visual es de 12 metros