El salto de cierta rana se puede modelar mediante la siguiente función: h(t) = 2t − t al cuadrado Donde t es el tiempo medido en segundos y h la altura en metros. ¿Cuánto durará el salto de la rana? ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la rana en este salto?
Respuestas
Respuesta:
Organizamos la función
h(t) = - 2t^2 + 2t + 0
La naturaleza de la función indica que su expresión gráfica es una parábola que abre hacia abajo
Siendo asi, la altura máxima del salto y el tiempo que tarda son definidos por las coordenadas del vértice
xV = - b/2a (tiempo) yV = - Δ/4a
= - 2/2(- 2) Δ = b^2 - 4.a.c
= 2/4 = (-2)^2 - 4.(-2).(0) = 4
= 1/2 yV = - 4/4(- 2) = 4/8 = 1/2
tarda 0.5 segundos altura máximo 0.5 m
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El tiempo que durará el salto de la rana es:
2 segundos
La altura máxima que alcanza la rana es:
1 metro
¿Cómo obtener máximos y mínimos?
Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.
Criterio de la segunda derivada:
- Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
- Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.
¿Cuánto durará el salto de la rana? Y ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la rana en este salto?
La duración del salto es cuando h(t) = 0;
0 = 2t - t²
Factor común t;
t(2 - t) = 0
- t₁ = 0 seg
- t₂ = 2 seg
La altura máxima se determina con el criterio de la segunda derivada.
Aplicar primera derivada;
h'(t) = d/dt (2t - t²)
h'(t) = 2 - 2t
Aplicar segunda derivada;
h''(t) = d/dt (2 - 2t)
h''(t) = - 2 ⇒ Máximo relativo
Igualar h'(t) a cero;
0 = 2 - 2t
Despejar t;
2t = 2
t = 2/2
t = 1 seg
Sustituir;
h(max) = 2(1) - (1)²
h(max) = 2-1
h(max) = 1 m
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#SPJ2
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t 0 1/2 1 3/2 2 5/2
h(t)