Respuestas
Sea un triángulo de lados a, b y c y de ángulos α, β y γ. En un triángulo de cumplen las siguientes relaciones:
Desigualdades entre las longitudes de los lados
a+b<c
a+c<b
b+c<a
Suma de los ángulos interiores del triángulo
α+β+γ=180
Dados los datos (ángulos y/o lados). Las fórmulas que nos permiten calcular los lados y/o ángulos desconocidos son:
Fórmulas de los cosenos
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
α
b
2
=
a
2
+
c
2
−
2
a
c
cos
β
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
a2=b2+c2−2bccosαb2=a2+c2−2accosβc2=a2+b2−2abcosγ
Fórmulas de los senos
a
sin
α
=
b
sin
β
=
c
sin
γ
asinα=bsinβ=csinγ
Para calcular los ángulos es preferible utilizar las primeras fórmulas en vez de las segundas, ya que el seno de un ángulo es igual al seno de su suplementario. sin(α)=sin(180-α). Por ejemplo, el seno de 30° y el seno de 150° tienen el mismo valor. El coseno evita este problema ya que determina sin ambigüedades el ángulo entre 0 y 180
Existen cuatro posibles casos, según los datos que se proporcionen, como se muestran en la figura y que se van a explicar en esta página
Se proporcionan los tres lados a, b y c.
Se calcula los ángulos α, β y γ
α
=
arccos
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
β
=
arccos
a
2
+
c
2
−
b
2
2
a
c
γ
=
180
º
−
α
−
β
α=arccosb2+c2−a22bcβ=arccosa2+c2−b22a
Se proporcionan los lados b y c y el ángulo comprendido α
Se calcula el lado a y los ángulos β y γ
a
=
√
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
α
β
=
arccos
a
2
+
c
2
−
b
2
2
a
c
γ
=
180
−
α
−
β
a=b2+c2−2bccosαβ=arccosa2+c2−b22acγ=
Se proporciona un lado c y los dos ángulos adyacentes α y β
Se calcula el ángulo γ, y los lados a y b
γ
=
180
−
α
−
β
a
=
c
sin
α
sin
γ
b
=
c
sin
β
sin
γ
γ=180−α−βa=csinαsinγb=csinβsinγ
Se proporcionan dos lados b y c y el ángulo no incluido β
Se calcula el lado a y los ángulos α y γ
No existe un triángulo cuyo ángulo β≥90° y a la vez b≤c
El ángulo γ se calcula mediante la fórmula
sin
γ
=
c
b
sin
β
sinγ=cbsinβ
Examinamos los posibles valores del miembro de la derecha
Si (c/b)·sinβ>1 no existe tal triángulo, ya que sinγ>1.
Si (c/b)·sinβ=1, entonces γ=90°, el triángulo es rectángulo
Si (c/b)·sinβ<1, existen dos alternativas
Si b<c el ángulo γ puede ser agudo u obtuso
γ
=
arcsin
(
c
b
sin
β
)
γ
'
=
180
−
γ
γ=arcsin(cbsinβ)γ'=180−γ
Si b≥c entonces β>γ, el ángulo γ solamente puede ser agudo. No puede haber dos obtusos
Una vez obtenido el ángulo γ, se calcula α y a
α
=
180
−
β
−
γ
a
=
b
sin
α
sin
β
α=180−β−γa=bsinαsinβ